Question

動(dòng)圓P過定點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心P的軌跡為曲線C，過F作曲線C兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M、N．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：直線MN必過定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）∵動(dòng)圓P過定點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切，
∴點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線，曲線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=
∴x_M=，∴y_M=k（x_M-1）=
∴M（，）
∵AB⊥CD，∴將M坐標(biāo)中的k換成-，可得N（2k²+1，-2k）
∴直線MN的方程為y+2k=（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不論k為何值，直線MN必過定點(diǎn)T（3，0）．
分析：（1）由動(dòng)圓P過定點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切，可得點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于到定直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求曲線C的方程；
（2）求出M，N的坐標(biāo)，可得直線MN的方程，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義，考查直線恒過定點(diǎn)，確定直線的方程是關(guān)鍵．