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【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB面積的最大值。

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與相交于兩點(diǎn)，求的值.

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率等于時(shí)，軸.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.

【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí)，具體見下表：

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購買該設(shè)備？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

【題目】已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且平面，求二面角的余弦值.

【題目】如圖，點(diǎn)分別是圓心在原點(diǎn)，半徑為和的圓上的動(dòng)點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)從初始位置開始，按逆時(shí)針方向以角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從初始位置開始，按順時(shí)針方向以角速度作圓周運(yùn)動(dòng).記時(shí)刻，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為.

（Ⅰ）求時(shí)刻，兩點(diǎn)間的距離；

（Ⅱ）求關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的值域.

【題目】已知點(diǎn)及圓.

（1）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長為，求的方程；

（2）求過點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，為其前項(xiàng)的和，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）數(shù)列滿足，其中．

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合．

【題目】已知曲線的方程為．

（1）當(dāng)時(shí)，試確定曲線的形狀及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若直線交曲線于點(diǎn)、，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試問此時(shí)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱？

（3）當(dāng)為大于1的常數(shù)時(shí)，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率為的直線，又設(shè)為原點(diǎn)到直線的距離，分別為點(diǎn)與曲線兩焦點(diǎn)的距離，求證是一個(gè)定值，并求出該定值．