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【題目】(理)已知數(shù)列滿足
(
),首項
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前
項和
;
(3)數(shù)列滿足
,記數(shù)列
的前
項和為
,
是△ABC的內(nèi)角,若
對于任意
恒成立,求角
的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個實數(shù)
,使得
成立,則稱函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)是否具有唯一零點,說明理由:
(2)已知向量,
,
,證明
在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點.
(3)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】如圖,A、B是海岸線OM、ON上兩個碼頭,海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為、
,測得
,
,以點O為坐標(biāo)原點,射線OM為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,一艘游輪以
小時的平均速度在水上旅游線AB航行(將航線AB看作直線,碼頭Q在第一象限,航線BB經(jīng)過點Q).
(1)問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘?
(2)海中有一處景點P(設(shè)點P在平面內(nèi),
,且
),游輪無法靠近,求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標(biāo).
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【題目】設(shè)點分別是棱長為2的正方體
的棱
的中點.如圖,以
為坐標(biāo)原點,射線
、
、
分別是
軸、
軸、
軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求向量與
的數(shù)量積;
(2)若點分別是線段
與線段
上的點,問是否存在直線
,
平面
?若存在,求點
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數(shù)列的通項公式為
,其中
,
、
.
(1)試寫出一組、
的值,使得數(shù)列
中的各項均為正數(shù).
(2)若,
,數(shù)列
滿足
,且對任意的
(
),均有
,寫出所有滿足條件的
的值.
(3)若,數(shù)列
滿足
,其前
項和為
,且使
(
、
,
)的
和
有且僅有
組,
、
、…、
中有至少
個連續(xù)項的值相等,其它項的值均不相等,求
、
的最小值.
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【題目】對于雙曲線:
(
),若點
滿足
,則稱
在
的外部;若點
滿足
,則稱
在
的內(nèi)部.
(1)證明:直線上的點都在
的外部.
(2)若點的坐標(biāo)為
,點
在
的內(nèi)部或
上,求
的最小值.
(3)若過點
,圓
(
)在
內(nèi)部及
上的點構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半,求
、
滿足的關(guān)系式及
的取值范圍.
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【題目】如圖,小凳凳面為圓形,凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力等因素,設(shè)計的小凳應(yīng)滿足:三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點與凳面圓形的圓心
的連線垂直于凳面和地面,且
分細(xì)鋼管上下兩段的比值為
,三只凳腳與地面所成的角均為
.若
、
、
是凳面圓周的三等分點,
厘米,求凳子的高度
及三根細(xì)鋼管的總長度(精確到
).
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【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列
的前n項和為
且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若求正整數(shù)
的值;
(3)是否存在正整數(shù),使得
恰好為數(shù)列
的一項?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)
;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知直線是雙曲線
的一條漸近線,點
都在雙曲線
上,直線
與
軸相交于點
,設(shè)坐標(biāo)原點為
.
(1)求雙曲線的方程,并求出點
的坐標(biāo)(用
表示);
(2)設(shè)點關(guān)于
軸的對稱點為
,直線
與
軸相交于點
.問:在
軸上是否存在定點
,使得
?若存在,求出點
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若過點的直線
與雙曲線
交于
兩點,且
,試求直線
的方程.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別是
,
是橢圓外的動點,滿足
.點
是線段
與該橢圓的交點,點
在線段
上,并且滿足
,
.
(1)當(dāng)時,用點P的橫坐標(biāo)
表示
;
(2)求點的軌跡
的方程;
(3)在點的軌跡
上,是否存在點
,使
的面積
?若存在,求出
的正切值;若不存在,說明理由.
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