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【題目】設(shè)數(shù)列是公差不為零等差數(shù)列，滿足；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；……；在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，

（i）求；

（ii）是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.

（1）求的值；

（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，若對(duì)于任意，不等式恒成立，且存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立，求的值；

（3）是否存在負(fù)數(shù)，使得是曲線的切線.若存在，求出的所有值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個(gè)球體和一個(gè)正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個(gè)球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個(gè)正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.

（1）當(dāng)時(shí)，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對(duì)于給定的和，求手工作品體積的最大值.

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的離心率為，且點(diǎn)在此橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且與橢圓交于.兩點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.

把以上各步所得余數(shù)從下到上排列，得到89=1011001（2）這種算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法，稱為“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化為七進(jìn)制數(shù)為_．

【題目】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：

.

設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為

A. B.

C. D.

【題目】三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡(jiǎn)，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（ ）

A. B. C. D.

【題目】2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確式子的序號(hào)是( )

A.①③B.①④C.②③D.②④

【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若，則稱為狄利克雷函數(shù)．對(duì)于狄利克雷函數(shù)，給出下面4個(gè)命題：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有；③對(duì)任意，都有， ；④對(duì)任意，都有．其中所有真命題的序號(hào)是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線與函數(shù)的圖象在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.