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【題目】心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關,某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)經過多次測試后,女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5~7分鐘,女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6~8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
(參考公式:,其中
)
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【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)設為曲線
上的點,
,垂足為
,若
的最小值為
,求
的值.
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【題目】某班級體育課進行一次籃球定點投籃測試,規(guī)定每人最多投3次,每次投籃的結果相互獨立.在處每投進一球得3分,在
處每投進一球得2分,否則得0分.將學生得分逐次累加并用
表示,如果
的值不低于3分就判定為通過測試,立即停止投籃,否則應繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案:方案1:先在
處投一球,以后都在
處投;方案2:都在
處投籃.已知甲同學在
處投籃的命中率為
,在
處投籃的命中率為
.
(1)若甲同學選擇方案1,求他測試結束后所得總分的分布列和數(shù)學期望
;
(2)你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大?說明理由.
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【題目】如圖,已知梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點
,使得直線
與平面
所成角的正弦值為
,若存在,求出線段
的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線C:x2=2py經過點(2,1).
(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準線方程;
(Ⅱ)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.
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【題目】如圖,在正方體中,
是棱
上動點,下列說法正確的是( ).
A.對任意動點,在平面
內存在與平面
平行的直線
B.對任意動點,在平面
內存在與平面
垂直的直線
C.當點從
運動到
的過程中,
與平面
所成的角變大
D.當點從
運動到
的過程中,點
到平面
的距離逐漸變小
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【題目】已知函數(shù)是
上的偶函數(shù),對于任意
,都有
成立,當
,且
時,都有
,給出下列命題,其中所有正確命題為( ).
A.
B.直線是函數(shù)
的圖象的一條對稱軸
C.函數(shù)在
上為增函數(shù)
D.函數(shù)在
上有四個零點
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【題目】某次考試,班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本,他們的數(shù)學物理分數(shù)對應如下表:
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學分數(shù) | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分數(shù) | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
繪出散點圖如下:
根據(jù)以上信息,判斷下列結論:
①根據(jù)此散點圖,可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有線性相關關系;
②根據(jù)此散點圖,可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關系;
③甲同學數(shù)學考了80分,那么,他的物理成績一定比數(shù)學只考了60分的乙同學的物理成績要高.
其中正確的個數(shù)為( ).
A.0B.3C.2D.1
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【題目】
已知函數(shù)
有極值,且函數(shù)
的極值點是
的極值點,其中
是自然對數(shù)的底數(shù).(極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值)
(1)求關于
的函數(shù)關系式;
(2)當時,若函數(shù)
的最小值為
,證明:
.
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