Question

（2012?眉山模擬）已知地球和冥王星半徑分別為r₁、r₂，公轉(zhuǎn)半徑分別為r₁′、r₂′，公轉(zhuǎn)線速度分別為v₁′、v₂′，表面重力加速度分別為g₁、g₂，平均密度分別為ρ₁、ρ₂，地球第一宇宙速度為v₁，飛船貼近冥王星表面環(huán)繞線速度為v₂，則下列關(guān)系正確的是（　　）

• A．

  v1′

  v2′

  =

  r2′ r1′

• B．

  v1

  v2

  =

  r2 r1

• C．g₁r₁²=g₂r₂²
• D．ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供向心力

GMm

r2

=m

v2

r

去求公轉(zhuǎn)的線速度之比，以及第一宇宙速度之比．
根據(jù)萬有引力等于重力求星球表面重力加速度之比．

解答：解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

v=

GM r

地球和天王星的公轉(zhuǎn)半徑之比為r₁′：r₂′，所以公轉(zhuǎn)速度之比

v1′

v2′

=

r2′ r1′

故A正確；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

由于不知道地球和天王星的質(zhì)量比，所以無法求出

v1

v2

，故B錯誤．
C、重力加速度g=

GM日

r′2

（其中r′為公轉(zhuǎn)半徑），可得gr′²=GM_日為定值，故g₁r₁′²=g₂r₂′²，故C錯誤．
D、根據(jù)星體密度公式ρ=

3π

GT2

=

3v2

4Gπr2

（其中T為星球表面衛(wèi)星運行的周期，r為星球半徑），故

ρr2

v2

為定值，故ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²，故D正確．
故選AD．

點評：解決本題的關(guān)鍵搞清楚公轉(zhuǎn)、第一宇宙速度等問題中，誰是中心天體，誰是環(huán)繞天體，然后根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力進行求解．