Question

（2011?江蘇一模）如圖所示，條形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)分別存在方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小均為0.3T，AA′、BB′、CC′、DD′為磁場(chǎng)邊界，它們相互平行，條形區(qū)域的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，磁場(chǎng)寬度及BB′、CC′之間的距離d=1m．一束帶正電的某種粒子從AA′上的O點(diǎn)以沿與AA′成60°角、大小不同的速度射入磁場(chǎng)，當(dāng)粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₀=4×10^-6s；當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ．取π≈3，不計(jì)粒子所受重力． 求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）速度v₀ 和v₁的大��；
（3）速度為v₁的粒子從O到DD′所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB^′離開區(qū)域Ⅰ，只能從AA^′邊離開區(qū)域Ⅰ，無(wú)論粒子速度大小，在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，作出該粒子的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系得出圓心角的大小，再根據(jù)周期公式得出時(shí)間與周期的關(guān)系，從而得出粒子的比荷．
（2）當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出v₀ 的大小．當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ．根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子的半徑，再根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出v₁ 的大小．
（3）速度為v₁的粒子在第一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)和第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，根據(jù)幾何關(guān)系求出在磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的圓心角，從而根據(jù)周期公式求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答：解：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB^′離開區(qū)域Ⅰ，只能從AA^′邊離開區(qū)域Ⅰ，無(wú)論粒子速度大小，在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，軌跡如圖所示（圖中只畫了一個(gè)粒子的軌跡）．
粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為φ₁=240°，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t0=

2

3

T
又：T=

2πm

qB

解得：

q

m

=

10

3

×106C/kg 或3.3×10⁶C/kg  
（2）當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，此時(shí)有：
R₀+R₀sin30°=d，
又：qv0B=

mv02

R0

得：v0=

2

3

×106m/s 
當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出區(qū)域Ⅰ，
此時(shí)軌跡所對(duì)圓心角φ₂=30⁰，有：R₁sinφ₂=d  
又：qv1B=

mv12

R1

得：v₁=2×10⁶m/s    
（3）區(qū)域I、Ⅱ?qū)挾认嗤��?BR>則粒子在區(qū)域I、Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為

t0

8

穿過(guò)中間無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為：
t1=

d

v1

=5×10^-7s 
則粒子從O₁到DD′所用的時(shí)間：
t=

t0

4

+t₁=1.5×10^-6s
答：（1）粒子的比荷

q

m

為3.3×10⁶C/kg．
（2）速度v₀ 和v₁的大小分別為

2

3

×106m/s、2×10⁶m/s．
（3）速度為v₁的粒子從O到DD′所用的時(shí)間為1.5×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，通過(guò)幾何關(guān)系找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑以及圓心角的大小，掌握粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式．