Question

【題目】一玻璃立方體中心有一點(diǎn)狀光源。今在立方體的部分表面鍍上不透明薄膜，以致從光源發(fā)出的光線(xiàn)只經(jīng)過(guò)一次折射不能透出立方體。已知該玻璃的折射率為，求：

①以任一表面為例，計(jì)算鍍膜的面積與該表面積之比的最小值；

②請(qǐng)根據(jù)①的結(jié)論，寫(xiě)出鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：作出光路圖，通過(guò)光線(xiàn)在鍍膜部分發(fā)生全反射，根據(jù)臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系求出鍍膜的面積與該表面積之比和鍍膜面積與立方體表面積之比的最小值。

①光路如圖所示，

考慮從玻璃立方體中心O點(diǎn)發(fā)出的一條光線(xiàn)，假設(shè)它斜射到玻璃立方體上表面發(fā)生折射。根據(jù)折射定律有式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角。

現(xiàn)假設(shè)A點(diǎn)是上表面面積最小的不透明薄膜邊緣上的一點(diǎn)。由題意，在A點(diǎn)剛好發(fā)生全反射，故αA＝

則sinθ =，θ=。

根據(jù)，得RA=

由題意，該表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應(yīng)是半徑為RA的圓。所求的鍍膜面積S′與玻璃立方體的表面積S之比為

②鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值。