Question

兒童滑梯可以看作是由斜槽AB和水平槽CD組成，中間用很短的光滑圓弧槽BC連接，如圖所示。質(zhì)量為m的兒童從斜槽的頂點A由靜止開始沿斜槽AB滑下，再進入水平槽CD，最后停在水平槽上的E點，由A到E的水平距離設為L。假設兒童可以視作質(zhì)點，已知兒童的質(zhì)量為m，他與斜槽和水平槽間的動摩擦因數(shù)都為μ，A點與水平槽CD的高度差為h。

(1)求兒童從A點滑到點E的過程中，重力做功和克服摩擦力做功。

(2)試分析說明，兒童沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關。

(3)要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過多少?(可用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

(1)兒童從A點滑到正點的過程中，重力做功W=mgh。兒童由靜止開始滑下最后停在E點，在整個過程中重力做功和克服摩擦力做功W₁，有mgh-W₁=0，則克服摩擦力做功W₁=mgh。

(2)設斜槽AB與水平面的夾角為α。兒童在斜槽上受重力mg、支持力N₁．和滑動摩擦力f₁，f₁=μmgcosα。

兒童在水平槽上受重力mg、支持力N₂和滑動摩擦力f₂，f₂=μmg。

兒童從A點由靜止滑下，最后停在E點，由動能定理，有mgh-μmgcosα·-μmg(L—hcotα)=0，

解得L=，它與角α無關。

(3)兒童沿滑梯滑下的過程中，通過B點時的速度最大，顯然，傾角a越大，通過B點的速度越大，設傾角為α₀時有最大速度v，由動能定理，有mgh-μmgcosα₀·mv²，解得最大傾角α₀=arccot()