Question

某星際探測(cè)是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題．如圖所示，某探測(cè)器從空間的O點(diǎn)沿直線(xiàn)ON從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，二個(gè)月后與地球相遇于P點(diǎn)，再經(jīng)二個(gè)月與地球相遇于Q點(diǎn)，已知萬(wàn)有引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，且探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)不受地球的影響，求太陽(yáng)的質(zhì)量？

Answer 1

分析：地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系式；
對(duì)于探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關(guān)系．由幾何知識(shí)得到：PQ對(duì)應(yīng)的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關(guān)系，即可聯(lián)立求得太陽(yáng)的質(zhì)量．

解答：解：對(duì)地球：由太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供向心力，則有：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
得：M=

4π2r3

GT2

  ②
對(duì)探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有
    PQ=OQ-OP=

1

2

a(

T

3

)2-

1

2

a(

T

6

)2=

1

24

aT2  ③
二個(gè)月為

1

6

T，則PQ所對(duì)的圓心角為：θ=60° ④
  由幾何關(guān)系得：r=PQ
代入上式得：M=

π2a3T4

3456G

答：太陽(yáng)的質(zhì)量為

π2a3T4

3456G

．

點(diǎn)評(píng)：本題是萬(wàn)有引力與勻變速運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵找出地球與探測(cè)器之間的時(shí)間關(guān)系，運(yùn)用幾何知識(shí)得到PQ與r的關(guān)系．