Question

兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個(gè)光滑的半球面內(nèi)，如圖所示．已知小球a和b的質(zhì)量之比為

3

：1，細(xì)桿長(zhǎng)度是球面半徑的

2

倍．兩小球處于平衡狀態(tài)時(shí)，設(shè)半球面對(duì)小球a的支持力為F_a，對(duì)小球b的支持力為F_b，細(xì)桿與水平面的夾角為θ，則（　　）

• A．θ=45°
• B．θ=15°
• C．F_a：F_b=

  3

  ：1
• D．F_a：F_b=1：

  3

Answer 1

分析：分別對(duì)兩球及整體受力分析，由幾何關(guān)系可得出兩球受力的大小關(guān)系，及平衡時(shí)桿與水平方向的夾角；注意本題要用到相似三角形及正弦定理．

解答：解：因桿可以繞任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，故若桿對(duì)a、b的作用力不沿桿，則桿不可能處于平衡狀態(tài)，故桿對(duì)ab球的彈力一定沿桿，且對(duì)兩球的作用力大小一定相等．
設(shè)細(xì)桿對(duì)兩球的彈力大小為T(mén)，小球a、b的受力情況如圖所示其中球面對(duì)兩球的彈力方向指向圓心，即有：cosα=

2 2 R

R

=

2

2

．
解得：α=45°
故F_Na的方向?yàn)橄蛏掀�右，即�?SUB>1=90°-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向?yàn)橄蛏掀�左，即�?SUB>2=90°-（45°-θ）=45°+θ
兩球都受到重力、細(xì)桿的彈力和球面的彈力的作用，過(guò)O作豎直線交ab于c點(diǎn)，設(shè)球面的半徑為R，則oac與左側(cè)力三角形相似；oac與右側(cè)力三角相似；則由幾何關(guān)系可得：

mag

OC

=

FNa

R

=

T

ac

mbg

OC

=

FNb

R

=

T

bc

解得：FNa=

3

FNb．
取a、b及細(xì)桿組成的整體為研究對(duì)象，由平衡條件得：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即

3

F_Nb?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．故B、C正確，A、D錯(cuò)誤．
故選BC．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于幾何關(guān)系的確定，對(duì)學(xué)生的要求較點(diǎn)，只有找出合適的幾何關(guān)系，才能找出突破本題的關(guān)鍵；應(yīng)認(rèn)真體會(huì)相似三角形及正弦定理的應(yīng)用．難度很大．