Question

如圖所示，勁度系數(shù)為k=200N/m的輕彈簧一端固定在墻上，另一端連一質(zhì)量為M=8kg的小車a，開始時(shí)小車靜止，其左端位于O點(diǎn)，彈簧沒有發(fā)生形變，質(zhì)量為m=1kg的小物塊b靜止于小車的左側(cè)，距O點(diǎn)s=3m，小車與水平面間的摩擦不計(jì)，小物塊與水平面間的動摩擦系數(shù)為μ=0.2，取g=10m/s²．今對小物塊施加大小為F=8N的水平恒力使之向右運(yùn)動，并在與小車碰撞前的瞬間撤去該力，碰撞后小車做振幅為A=0.2m的簡諧運(yùn)動，已知小車做簡諧運(yùn)動周期公式為T=2π

M k

，彈簧的彈性勢能公式為E_p=

1

2

kx2（x為彈簧的形變量），則
（1）小物塊與小車磁撞前瞬間的速度是多大？
（2）小車做簡諧運(yùn)動過程中彈簧最大彈性勢能是多少？小車的最大速度為多大？
（3）小物塊最終停在距O點(diǎn)多遠(yuǎn)處？當(dāng)小物塊剛停下時(shí)小車左端運(yùn)動到O點(diǎn)的哪一側(cè)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理，即可求解；
（2）由彈性勢能與形變量的關(guān)系，從而可求出彈性勢能的大�。辉儆蓹C(jī)械能守恒定律，即可求出最大速度；
（3）根據(jù)動量守恒定律與動能定理，及運(yùn)動學(xué)公式，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)磁撞前瞬間，小物塊b的速度為v₁
小物塊從靜止開始運(yùn)動到剛要與小車發(fā)生碰撞的過程中，
根據(jù)動能定理可知
Fs-μmgs=

1

2

mv₁…_?①
解得v₁=6m/s…②
（2）由于小車簡諧振動的振幅是0.2m，所以彈簧的最大形變量為x=A=0.2m
根據(jù)彈性勢能的表達(dá)式可知最大彈性勢能E_pm=

1

2

kA²…③
解得E_pm=4J…④
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知小車的最大動能應(yīng)等于彈簧的最大彈性勢能
所以

1

2

kA²=

1

2

Mv_m²…⑤
解得小車的最大速度v_m=1m/s…⑥
（3）小物塊b與小車a磁撞后，小車a的速度為v_m，設(shè)此時(shí)小物塊的速度為v₁′，
設(shè)向右為正方向，由動量守恒定律有
mv₁=mv′₁+Mv_m…⑦
解得v₁′=-2m/s…⑧
接著小物塊向左勻減速運(yùn)動一直到停止，設(shè)位移是s₁，所經(jīng)歷的時(shí)間為t₁，
根據(jù)動能定理可知
-μmgs₁=0-

1

2

mv₁^/2…⑨
解得s₁=1m…⑩
物塊作勻減速運(yùn)動時(shí)的加速度為
a=

μmg

2m

=μg=2m/s²…（11）
t₁=

0- v / 1

a

=1s…（12）
小車a振動的周期T=2π

M k

≈1.26s…（13）
由于T＞t₁＞

3

4

T，所以小車a在小物塊b停止時(shí)在O點(diǎn)的左側(cè)，并向右運(yùn)動…（14）
答：（1）小物塊與小車磁撞前瞬間的速度是6m/s；
（2）小車做簡諧運(yùn)動過程中彈簧最大彈性勢能是4J；小車的最大速度為1m/s；
（3）小物塊最終停在距O點(diǎn)1m遠(yuǎn)處，當(dāng)小物塊剛停下時(shí)小車左端運(yùn)動到O點(diǎn)的左側(cè)，并向右運(yùn)動．

點(diǎn)評：考查動能定理、牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用，掌握動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律的方法與判定條件．