Question

（2013?太原二模）如圖甲所示，在Oxy坐標(biāo)系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的等邊△FGH區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，方向垂直于Oxy平面向里，F(xiàn)、H位子y軸上，邊界FG、HG關(guān)于x軸對稱．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右接連發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，現(xiàn)在0～3to時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓，已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的粒子恰好在t ₀時(shí)刻射入磁場、且恰好不會從邊界HG、FG射出磁場區(qū)域，上述l、m、q、t₀為已知量，U₀=

ml2

qt   2 0

，不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響，將PQ間電場視為勻強(qiáng)電場，求：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場時(shí)的速度；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子t₀時(shí)刻剛好射出電場，做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解即可；
（2）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的粒子恰好在t0時(shí)刻射入磁場、且恰好不會從邊界HG、FG射出磁場區(qū)域；畫出臨界軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解出半徑；最后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入極板的帶電粒子在兩個極板間做勻速直線運(yùn)動，在2t₀時(shí)刻沿著x方向進(jìn)入磁場，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動；畫出運(yùn)動軌跡，然后根據(jù)t=

θ

2π

×T和T=

2πm

qB

求解時(shí)間．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子t₀時(shí)刻剛好射出電場
帶電粒子沿著x軸分速度大小為：v₀=

l

t0

y軸負(fù)方向偏移距離：y=

1

2

?

qU0

ml

?

t

2 0

=

1

2

l
粒子離開電場沿y軸負(fù)方向分速度為v_y，則有：

1

2

l=

vy

2

t0
射入磁場的速度大小vt=

v 2 0 + v 2 y

=

2 l

t0

，與y軸夾角為45°；
（2）設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R₁，由幾何關(guān)系得：
R1=

2

2

l
qv1B=m

v 2 1

R1

B=

2m

qt0

（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入極板的帶電粒子在兩個極板間做勻速直線運(yùn)動，在2t₀時(shí)刻沿著x方向進(jìn)入磁場，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)半徑為R₂；
R2=

1

2

l
T=

2πR2

v0

=πt0
設(shè)△FGH邊長為a，則有：
2R1+

l

2

=asin60°
a=

2 6 + 3

3

t
因?yàn)椋?span id="z2jbvzn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

2

-R2）sin60°＞R₂，粒子不會從PG邊射出磁場，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間：
t=

T

2

=

πt0

2

答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場時(shí)的速度為

2 l

t0

，與y軸夾角為45°；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

2m

qt0

；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的時(shí)間為

πt0

2

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動規(guī)律，然后分類似平拋運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動過程列式求解，磁場中運(yùn)動注意畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解半徑．