Question

N個(gè)相同的木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），每塊的質(zhì)量都是m，放置在傾角為θ的斜面上，相鄰兩木塊間的距離為l，最下端的木塊距離斜面底端也是l，木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示．在開始時(shí)刻，第一個(gè)木塊以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止．由于第一個(gè)木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運(yùn)動(dòng)，直到最后第n個(gè)木塊到達(dá)斜面底端時(shí)，剛好停在底端．求：
（1）第一次碰撞前第一個(gè)木塊的動(dòng)能E₁；
（2）在整個(gè)過(guò)程中由于碰撞而損失的總機(jī)械能△E．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，即可求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能損失，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒定律，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)第一次碰前第一個(gè)木塊的動(dòng)能為E₁，
由動(dòng)能定理得，mglsinθ-μmglcosθ=E₁-

1

2

mv₀²
解得：E₁=

1

2

mv₀²+mglsinθ-μmglcosθ
（2）在整個(gè)過(guò)程中第n個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)l，第n-1個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)2l…第一個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)nl，
整個(gè)過(guò)程機(jī)械能損失：△E=

1

2

m

v

2 0

+mgsinθ(1+2+…+n)l=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mglsinθ
整個(gè)過(guò)程中由于摩擦做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量：Q=

n(n+1)

2

μmglcosθ
設(shè)由于碰撞損失的機(jī)械能△E′
△E′+Q=△E
△E′=△E-Q=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

n(n+1)mgl（sinθ-μcosθ）
答：（1）第一次碰撞前第一個(gè)木塊的動(dòng)能E₁=

1

2

mv₀²+mglsinθ-μmglcosθ；
（2）在整個(gè)過(guò)程中由于碰撞而損失的總機(jī)械能△E=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

n(n+1)mgl(sinθ-μcosθ)．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理與能量守恒定律的應(yīng)用，注意動(dòng)能定理的過(guò)程選取，掌握機(jī)械能守恒條件．