Question

如圖所示，某一真空空間內(nèi)充滿著相互垂直的場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且電場(chǎng)和磁場(chǎng)根據(jù)需要可同時(shí)存在或單獨(dú)存在．在此空間中建立Oxyz空間直角坐標(biāo)系，且xOy位于水平面，
（1）若電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，且B和E的方向分別與x軸和y軸正方向相同時(shí)，有一電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）由坐標(biāo)原點(diǎn)O沿z軸正方向進(jìn)入該區(qū)域后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則該粒子運(yùn)動(dòng)速度v為多大？
（2）若有一電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）由坐標(biāo)原點(diǎn)O沿z軸正方向以（1）問(wèn)中的速度v進(jìn)入該區(qū)域后，僅存在電場(chǎng)，且E的方向沿y軸正方向，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時(shí)，撤去電場(chǎng)．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后僅加上磁場(chǎng)，且B的方向?yàn)閤軸的負(fù)方向，粒子在以后的運(yùn)動(dòng)中正好能與 y 軸相切．問(wèn)粒子在無(wú)電、磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為僅受電場(chǎng)力作用時(shí)間的多少倍？
（3）若電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，且B和E的方向分別與x軸和y軸正方向相同時(shí)，有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電小球在yOz平面內(nèi)做勻速率運(yùn)動(dòng)，試判斷該小球的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)并計(jì)算其運(yùn)動(dòng)速率．

Answer 1

分析：（1）重力不計(jì)，粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，由平衡條件列式可求得速度v；
（2）設(shè)電場(chǎng)力作用時(shí)間為t₁，無(wú)電、磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．有電場(chǎng)時(shí)，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，據(jù)題意，粒子運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時(shí)撤去電場(chǎng)，由速度的分解求得粒子沿y軸和z軸兩個(gè)方向分速度之比

vy

vz

．粒子沿z軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，AO在z軸上的分位移為 z=v（t₁+t₂），又根據(jù)幾何關(guān)系得：z=R+Rsinθ=1.6R，而粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

mv

qB

，聯(lián)立即可解得時(shí)間之比．
（3）小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件列式求速率．

解答：解：（1）由題，粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，則有 qE=qvB
解得，v=

E

B

（2）畫(huà)出粒子在yOz平面內(nèi)的軌跡如圖所示．設(shè)電場(chǎng)力作用時(shí)間為t₁，無(wú)電、磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．
當(dāng)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向的夾角滿足tan

3

4

時(shí)，則有
 

vy

vz

=

qE m t1

v

=

3

4

解得，t₁=

3mv

4qE

=

3m

4qB

AO在z軸上的分位移為 z=v（t₁+t₂） ①
由圖中幾何關(guān)系得
   AO在z軸上的分位移為 z=R+Rsinθ=1.6R=

1.6mv合

qB

=

1.6mv

qBcosθ

=

2mv

qB

 ②
由①、②得：t₁+t₂=

2m

qB

，t₂=

5m

4qB

，
所以

t2

t1

=

5

3

（3）小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則

(mg)2+(qE)2

=qvB
解得，v=

(mg)2+(qE)2

qB

答：
（1）粒子運(yùn)動(dòng)速度v為

E

B

．
（2）粒子在無(wú)電、磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為僅受電場(chǎng)力作用時(shí)間的

5

3

倍？
（3）小球的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速率為

(mg)2+(qE)2

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型，分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，再運(yùn)用力學(xué)的方法進(jìn)行處理．