Question

【題目】如圖為某種魚餌自動投放器的裝置示意圖,其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管,上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管,管口C處切線水平,AB管內(nèi)有原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧。在彈簧上端放置一粒質(zhì)量為m的魚餌,解除鎖定后彈簧可將魚餌彈射出去。投餌時,每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定,此時彈簧的彈性勢能為6mgR(g為重力加速度)。不計魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失,求:

(1)魚餌到達(dá)管口C時的速度大小v1。

(2)魚餌到達(dá)管口C時對管子的作用力大小和方向。

(3)已知地面比水面高出1.5R,若豎直細(xì)管的長度可以調(diào)節(jié),圓弧彎道管BC可隨豎直細(xì)管一起升降。求魚餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線OO'之間的最大距離Lmax。

Answer 1

【答案】(1)　(2)6mg，方向向上　(3)9R

【解析】

根據(jù)能量守恒定律求出魚餌到達(dá)管口C時的速度大小；根據(jù)牛頓第二定律求出管口對魚餌的作用力大小，從而結(jié)合牛頓第二定律求出魚餌對管子的作用力大小和方向；根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出平拋運(yùn)動的初速度，結(jié)合平拋運(yùn)動的規(guī)律求出水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)知識得出魚餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線OO′之間的最大距離。

解：(1)魚餌到達(dá)管口C的過程中彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為魚餌的重力勢能和動能，有：

解得

(2)設(shè)C處管子對魚餌的作用力向下，大小設(shè)為F，

根據(jù)牛頓第二定律有：

解得

由牛頓第三定律可得魚餌對管子的作用力F′=6mg，方向向上。

(3)設(shè)AB長度為h，對應(yīng)平拋水平距離為x，

由機(jī)械能守恒定律有：

由平拋運(yùn)動的規(guī)律得，

解得

當(dāng)時，x的最大值

則