Question

（2010?湖南模擬）如圖，火星和地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)可以近似看作為在同一平面內(nèi)的同方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知火星軌道半徑r₁=2.3×10¹¹m，地球軌道半徑為r₂=1.5×10¹¹m，根據(jù)你所掌握的物理和天文知識(shí)，估算火星與地球相鄰兩次相距最近的最短時(shí)間間隔約為（　　）

A．1年

B．2年

C．3年

D．4年

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供向心力，列式可得周期的表達(dá)式，求得地球和火星的周期之比，這樣可以解出火星的周期．兩星轉(zhuǎn)過的角度之差△θ=2π時(shí)，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時(shí)間．

解答：解：設(shè)行星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星與太陽的距離為r，火星的周期為T₁，地球的周期為T₂．
行星繞太陽做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律有
  G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
則得 T²=

4π2r3

GM

地球的周期為T₂=1年，則有(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3
火星的周期為T₁=1.8年
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩星又一次距離最近，
根據(jù)θ=ωt
則兩星轉(zhuǎn)過的角度之差
△θ=（

2π

T2

-

2π

T1

）t=2π
得t=2.3年≈2年．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題也可運(yùn)用開普勒周期定律求解火星的運(yùn)動(dòng)周期．這種方法，很好理解，關(guān)鍵確定相距最近的條件．