Question

如圖甲所示，在兩平行金屬板的中線OO′某處放置一個(gè)粒子源，粒子沿OO¹方向連續(xù)不斷地放出速度v0=1.0×105m/s的帶正電的粒子．已知帶電粒子的比荷

q

m

=1.0×108C/kg，粒子的重力和粒子之間的作用力均可忽略不計(jì)．在靠近兩平行金屬板邊緣的右側(cè)分布有范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.01πT，方向垂直于紙面向里，磁場邊緣MN與中線OO′垂直．兩平行金屬板間的電壓U隨時(shí)間變化的U-t圖線如圖乙所示．若t=0.1s時(shí)刻粒子源放出的粒子恰能從平行金屬板邊緣離開電場（設(shè)在每個(gè)粒子通過電場區(qū)域的時(shí)間內(nèi)，可以把板間的電場看作是恒定的）．
求：（1）t=0.1s時(shí)刻粒子源放出的粒子離開電場時(shí)的速度大小和方向．
（2）從粒子源放出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間和最長時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在t=0.1s時(shí)刻射入電場的帶電粒子恰能從平行金屬板邊緣射出，偏轉(zhuǎn)距離y=

1

2

d，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，先由偏轉(zhuǎn)距離求得時(shí)間t，再由速度的合成求該粒子射出電場時(shí)速度的大��；
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．不同時(shí)刻釋放的粒子在電場中的偏角θ不同，進(jìn)入磁場后在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，θ角越大的進(jìn)入磁場中的偏角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長．t=0時(shí)刻釋放的粒子，在電場中的偏角為0°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，t=0.1s時(shí)刻釋放的粒子，在電場中的偏角最大為45°，即可求得在磁場中的最短和最長運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)板間距為d，t=0.1s時(shí)刻釋放的粒子在板間做類平拋運(yùn)動(dòng)
在沿電場方向上   

d

2

=

qU

2dm

t2…①
粒子離開電場時(shí)，沿電場方向的分速度vy=

qU

dm

t…②
粒子離開電場時(shí)的速度 v=

v 2 0 + v 2 y

…③
粒子在電場中的偏角為θ，tanθ=

vy

v0

…④
由①②③④得   v=

v 2 0 + qU m

=1.4×105m/s
  tanθ=

qU m v 2 0

=1
得 θ=45° 
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期
  qvB=m

v2

R

   
  T=

2πR

v

                 
則得周期 T=

2πm

qB

=2×10-6s
不同時(shí)刻釋放的粒子在電場中的偏角θ不同，進(jìn)入磁場后在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，θ角越大的進(jìn)入磁場中的偏角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長．
t=0時(shí)刻釋放的粒子，在電場中的偏角為0°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短 t1=

T

2

=1.0×10-6s；
t=0.1s時(shí)刻釋放的粒子，在電場中的偏角最大為45°，在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t2=

3T

4

=1.5×10-6s
而其它時(shí)刻釋放的粒子，在電場中的偏角介于0°和45°之間．因此，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間介于1.0×10^-6s和1.5×10^-6s之間．
答：
（1）t=0.1s時(shí)刻粒子源放出的粒子離開電場時(shí)的速度大小為1.4×10⁵m/s，方向與水平方向夾角為45°斜向下．
（2）從粒子源放出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間和最長時(shí)間分別為1.0×10^-6s和1.5×10^-6s．

點(diǎn)評：本題是組合場問題，綜合應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)以及幾何知識(shí)，中等難度．