Question

（21分）如圖甲所示，在空心三棱柱CDF以外足夠大的空間中，充滿著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。三棱柱的軸線與磁場平行，截面邊長為L，三棱柱用絕緣薄板材料制成，其內(nèi)部有平行于CD側(cè)面的金屬板P、Q，兩金屬板間的距離為d，P板帶正電，Q板帶負(fù)電，Q板中心有一小孔，P板上與小孔正對的位置有一個(gè)粒子源S，從S處可以發(fā)出初速度為0、帶電量為＋q、質(zhì)量為m的粒子，這些粒子與三棱柱側(cè)面碰撞時(shí)無能量損失。試求：
（1）為使從S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，P、Q之間的電壓U應(yīng)滿足什么條件?（Q與CD之間距離不計(jì)）
（2）粒子從S點(diǎn)出發(fā)又回到S點(diǎn)的最短時(shí)間是多少?
（3）若磁場是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖乙所示，圓柱的軸線與三棱柱的軸線重合，且a＝（＋）L，要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，則P、Q之間的電壓不能超過多少?

Answer 1

⑴設(shè)粒子到達(dá)Q板小孔時(shí)的速度為υ，由動(dòng)能定理得
    ① （2分）
從小孔發(fā)出的粒子在洛倫茲力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
    ② （2分）
粒子能回到小孔的條件是：L＝2R（2n-1）（n＝1，2，3，…）    ③ （2分）
由①②③解得               （n＝1，2，3，…）    ④ （2分）
⑵粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為  ⑤
當(dāng)④式中n＝1時(shí)，粒子從S出發(fā)又回到S時(shí)間最短，粒子在磁場中分別以D、F、C為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為  R＝    ⑥ （2分）
設(shè)粒子從S到小孔所用時(shí)間為t₁，則      ⑦ （2分）
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為         ⑧ （2分）
粒子從S點(diǎn)出發(fā)又回到S點(diǎn)的最短時(shí)間為 t＝2t₁＋t₂      ⑨ （1分）
由以上各式解得                      ⑩ （2分）
⑶設(shè)D點(diǎn)到磁場邊界的最近距離為L₁，由已知條件得
       （2分）
從S發(fā)出的粒子要回到S，就必須在磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即滿足條件
               
由③④解得  （2分）
其他合理解答，同樣給分。

解析