Question

如圖，有一固定長(zhǎng)度的木板C放在光滑水平面上，木板上面放置可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A、B，A、B、C的質(zhì)量均相等．木塊A、B相距0.2m，放在木板上適當(dāng)?shù)奈恢茫�它們與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同均為μ=0.2，兩物塊均在同一直線上，開(kāi)始時(shí)都處于靜止?fàn)顟B(tài)．某時(shí)刻同時(shí)使物體A、B分別以速度v₀₁=3m/s、v₀₂=1m/s向相反方向運(yùn)動(dòng)，g取10m/s²，如圖所示．問(wèn)：
（1）在A、B同時(shí)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，木板C的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)應(yīng)該怎樣？
（3）若A、B最終不滑離木板，最后它們的共同速度為多少？
（2）若要使A、B最終不滑離木板，木板C的長(zhǎng)度至少為多少？

Answer 1

分析：A、B與木板間滑動(dòng)摩擦力的大小相等，A、B木塊分別向左、向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，A、B對(duì)木板C的摩擦力大小相同，方向相反．
由動(dòng)量守恒定律求得最后它們的共同速度．
在F₁、F₂作用下分別求出A、B的加速度，進(jìn)而求出撤去外力時(shí)AB的位移和速度，撤去這兩個(gè)力后，A、B的加速度大小相等，分別求出AB停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，和運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)位移之間的關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）A、B與木板間滑動(dòng)摩擦力的大小相等，A、B木塊分別向左、向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，A、B對(duì)木板C的摩擦力大小相同，方向相反，
所以在A、B同時(shí)向相反方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，木板C保持靜止．   
（2）由動(dòng)量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）   
（3）A、B的加速度大小相等，a_A=a_B=μg=2m/s²
B先相對(duì)于C靜止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=

vB

aB

=0.5s，
此時(shí)A的速度，v_A1=v_A-a_A′t₁=2m/s    
這段時(shí)間C一直保持靜止?fàn)顟B(tài)，A、B的位移分別為：sA=vAt -

1

2

aA

t

2

=

5

4

m
sB=

1

2

vBt=

1

4

m
以后B相對(duì)于木板靜止，A繼續(xù)減速運(yùn)動(dòng)，木板的加速度：
a_c=

μmAg

mB+mC

=1（m/s）  
設(shè)此后A與木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，
v_A1-a_A′t₂=a_ct₂
t₂=

2

3

（s）     
在t₂時(shí)間內(nèi)，A與木板相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離△s=

2

3

（m）
木板的最小長(zhǎng)度 s=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）     
另一種方法：直接用動(dòng)量守恒定律和能量轉(zhuǎn)化方程．
由動(dòng)量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）
當(dāng)B相對(duì)地速度為0后，BC一起向左加速，直至三者速度相等．
當(dāng)v_B=0時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=mv₁+0
得：v₁=2m/s
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

.

vB

=

1

2

（m/s），

.

vA

=

5

2

（m/s），
所以s₁=2 s₂
由能量關(guān)系得：

1

2

m(

v

2 01

+

v

2 02

)-

1

2

m

v

2 1

=μmg(s1+s2)
得：s₁=1.25（m），s₂=0.25（m）
BC相對(duì)靜止后，

1

2

m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2

=μmgs3
s₃=

2

3

（m）
L=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）
答：（1）在A、B同時(shí)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，木板C保持靜止
（2）若A、B最終不滑離木板，最后它們的共同速度為

2

3

（m/s） 
（3）若要使A、B最終不滑離木板，木板C的長(zhǎng)度至少為2.37（m）

點(diǎn)評(píng)：本題是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的題目，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本規(guī)律解題，難度較大．