Question

勁度系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置在地面上，其上端固定有質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發(fā)生碰撞，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失．已知M=3m，彈簧振子的周期T=2π

M k

．求：
（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁及鋼板的速度v₂的大小和方向；   
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），求鋼板質(zhì)量的最大值．

Answer 1

分析：（1）小球碰前做自由落體運(yùn)動(dòng)，碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，根據(jù)守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰，則小球返回時(shí)間為鋼板簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)半周期的奇數(shù)倍，根據(jù)等時(shí)性列式后聯(lián)立求解；

解答：解：（1）設(shè)小球落至鋼板時(shí)速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得，
mgH=

1

2

mv₀²    ①
碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，mv₀=mv₁+Mv₂    ②
由于機(jī)械能無(wú)損失，

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²=

1

2

mv₀²   ③
聯(lián)立①②③式得，v₁=-

1

2

v₀=-

1

2

2gH

，負(fù)號(hào)表示方向向上，
v₂=

1

2

v₀=

1

2

2gH

，方向豎直向下．
（2）由（1）可知，碰撞后小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，鋼板以

1

2

v₀（連同彈簧）向下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，
要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有小球重新落回到O處所用的時(shí)間t恰好對(duì)應(yīng)鋼板的nT+

1

2

T．
而當(dāng)M取最大值時(shí)，必有t=

1

2

T，即t=

v0

g

=

2H g

=π

M K

解得，M=

2Hk

gπ2

．
答：（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度大小是

1

2

2gH

，方向向上，鋼板的速度大小是

1

2

2gH

，方向豎直向下；   
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），鋼板質(zhì)量的最大值M=

2Hk

gπ2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確小球和鋼板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律多次列式后聯(lián)立求解，第二問(wèn)找出臨界情況是關(guān)鍵，