Question

（2011?閘北區(qū)二模）如圖（a）所示，水平面上有兩根很長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌，間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌間有豎直方向等距離間隔的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．導(dǎo)軌上有矩形金屬框abcd，其總電阻為R，質(zhì)量為m，框的寬度ab與磁場(chǎng)間隔相同．開(kāi)始時(shí)，金屬框靜止不動(dòng)，當(dāng)兩勻強(qiáng)磁場(chǎng)同時(shí)以速度v₁沿直導(dǎo)軌勻速向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框也會(huì)隨之開(kāi)始沿直導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到水平向右、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度．求：
（1）金屬框所達(dá)到的恒定速度v₂
（2）金屬框以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功
（3）當(dāng)金屬框達(dá)到恒定速度后，為了維持它的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須提供的功率
（4）若t=0時(shí)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂同時(shí)由靜止開(kāi)始沿直導(dǎo)軌向左做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)較短時(shí)間后，金屬框也做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖（b）所示，已知在時(shí)刻t金屬框的瞬時(shí)速度大小為v_t，求金屬框做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小．

Answer 1

分析：由于磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)使得線(xiàn)框中的磁通量發(fā)生變化，電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，而感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中又受到安掊力作用，線(xiàn)框在安培力和阻力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，線(xiàn)框受到的安培力和阻力平衡，據(jù)此列式可以求得線(xiàn)框穩(wěn)定后的速度，求得線(xiàn)框穩(wěn)定后的速度后，據(jù)P=FV可以求得線(xiàn)框所受阻力的瞬時(shí)功率（即單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功），當(dāng)金屬框達(dá)到穩(wěn)定速度后，為了維持它的運(yùn)動(dòng)，一是要克服阻力做功，二是由于線(xiàn)框電阻的存在電流要做功，磁場(chǎng)必須提供的功率等于克服阻力做功的功率加線(xiàn)框上的熱功率，當(dāng)線(xiàn)框勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以判斷磁場(chǎng)的加速度和線(xiàn)框相同，線(xiàn)框受安培力和阻力作用，由此根據(jù)受力分析列牛頓第二定律方程可以求得線(xiàn)框的加速度．

解答：解：（1）由于磁場(chǎng)以速度v₁向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬框穩(wěn)定后以最大速度v₂向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)金屬框相對(duì)于磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)速度為v₁-v₂，
根據(jù)右手定則可以判斷回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E等于ad、bc邊分別產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和，即E=2BL（v₁-v₂）
根據(jù)歐姆定律可得，此時(shí)金屬框中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=

E

R

=

2BL(v1-v2)

R

金屬框的兩條邊ad和bc都受到安培力作用，由題意知，ad和bc邊處于的磁場(chǎng)方向相反，電流方向也相反，故它們所受安培力方向一致，
故金屬框受到的安培力大小
F=2BIL=

4B2L2(v1-v2)

R

當(dāng)金屬框速度最大時(shí)，安培力與摩擦力平衡，即滿(mǎn)足F-f=

4B2L2(v1-v2)

R

-f=0
由此解得：金屬框達(dá)到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）因?yàn)樽枇�恒為f，單位時(shí)間內(nèi)阻力所做的功即為阻力做功的功率
所以Pf=fv2=fv1-

f2R

4B2L2

（3）當(dāng)金屬框達(dá)到穩(wěn)定速度后，電路中消耗的電功率
P電=I2R=[

2BL(v1-v2)

R

]2R=(

f

2BL

)2R=

f2R

4B2L2

據(jù)能量守恒，磁場(chǎng)提供的功率P=P_電+P_f=

f2R

4B2L2

+fv1-

f2R

4B2L2

=fv₁
（4）因?yàn)榫�(xiàn)框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到安培力和阻力作用，合力產(chǎn)生加速度，根據(jù)牛頓第二定律有：
F-f=ma，即

4B2L2(v1-v2)

R

-f=ma        ①
線(xiàn)框做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度a恒定，故有（v₁-v₂）為一定值，即線(xiàn)框的加速度與磁場(chǎng)的加速度相等，
即v₁=at，代入①式得：

4B2L2(at-vt)

R

-f=ma
解得：a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

答：（1）金屬框所達(dá)到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）金屬框以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功為fv1-

f2R

4B2L2

（3）當(dāng)金屬框達(dá)到恒定速度后，為了維持它的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須提供的功率P=fv₁
（4）求金屬框做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

．

點(diǎn)評(píng)：由于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)使得穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量發(fā)生變化，線(xiàn)框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中又受到安培力從而使線(xiàn)框開(kāi)始沿磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方向做加速運(yùn)動(dòng)，需要注意的是使電路產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的速度v₂，不是線(xiàn)框的速度而是線(xiàn)框相對(duì)于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度即v₁-v₂，這是解決本題的關(guān)鍵所在；另當(dāng)線(xiàn)框我加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，能通過(guò)運(yùn)動(dòng)分析確定磁場(chǎng)的加速度必須和線(xiàn)框的加速度相同時(shí)，線(xiàn)框才能做勻加速運(yùn)動(dòng)．