Question

(2010年高考課標全國卷)如圖8－2－28所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內(nèi)垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的

圖8－2－28
(1)速度的大小；
(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

Answer 1

(1)(2－)　(2)

(1)設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB＝m①
由①式得R＝②
當a/2＜R＜a時，在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的上邊界相切，如圖所示．

設(shè)該粒子在磁場運動的時間為t，依題意t＝T/4，
得∠OCA＝③
設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可得Rsinα＝R－④
Rsinα＝a－Rcosα⑤
又sin²α＋cos²α＝1⑥
由④⑤⑥式得R＝(2－)a⑦
由②⑦得v＝(2－).
(2)由④⑦式得sin α＝.
答案：(1)(2－)　(2)