Question

（2006?江蘇）如圖所示，頂角=45°的金屬導軌MON固定在水平面內(nèi)，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中．一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿導軌MON向右滑動，導體棒的質(zhì)量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均勻為r．導體棒與導軌接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸．t=0時，導體棒位于頂角O處，求：
（1）t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向．
（2）導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式．
（3）導體棒在0～t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）若在t₀時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

Answer 1

分析：（1）求出t時刻導體棒的有效長度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強度的大小，根據(jù)右手定則求出電流的方向．
（2）當導體棒做勻速直線運動時，水平外力等于安培力，根據(jù)平衡求出水平拉力的表達式．
（3）導體棒在0～t時間內(nèi)電流大小恒定，抓住R與時間正比，通過平均功率，根據(jù)Q=Pt求出產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）根據(jù)動量定理，結(jié)合微分思想、運動學公式求出在t₀時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

解答：解：（1）0到t時間內(nèi)，導體棒的位移x=v₀t
t時刻，導體棒長度l=x
導體棒的電動勢 E=Blv₀
回路總電阻 R=（2x+

2

x）r
電流強度   I=

E

R

=

Bv0

(2+ 2 )r

電流方向為b到a．
（2）勻速直線運動時，安培力等于拉力．
F=BlI=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

（3）t時刻導體棒的電功率  P=I²R′
由于I恒定，R′=v₀rt正比于t
因此

.

P

=I²

.

R

=

1

2

I² R′
Q=

.

P

t=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

（4）撤去外力后，設任意時刻t導體棒的坐標為x，速度為v，取很短時間△t或很短距離△x

在t～t+△t時間內(nèi)，由動量定理得
BlI△t=m△v∑

B2

(2+ 2 )r

（lv△t）=∑m△v=

B2

(2+ 2 )r

△S=mv₀
掃過面積△S=

(x0+x)(x-x0)

2

=

x2- x 2 0

2

（x₀=v₀t₀）得
x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

或設滑行距離為d
則△S=

v0t0+(v0t0+d)

2

d
即d²+2v₀t₀d-2△S=0
解之 d=-v₀t₀+

2△S+(v0t0)2

得x=v₀t₀+d=

2△S+(v0t0)2

=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

答：（1）t時刻流過導體棒的電流強度I為

Bv0

(2+ 2 )r

，電流方向為b到a．
（2）導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式為F=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

．
（3）導體棒在0～t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

．
（4）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

．

點評：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點，綜合性較強，尤其在第四問，對學生能力要求較高．