Question

理論推證表明，取離星球中心無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)時(shí)，以物體在距離星球中心為r處的引力勢(shì)能可表示為：E_p=-G

Mm

r

．G為萬(wàn)有引力常數(shù)，M、m表示星球與物體的質(zhì)量，而萬(wàn)有引力做的功等于引力勢(shì)能的減少量．
現(xiàn)已知月球質(zhì)量為M、半徑為R，探月飛船的總質(zhì)量為m．月球表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常數(shù)G．要將探月飛船從月球表面發(fā)送到離月球表面高度為H的環(huán)月軌道消耗的能量至少為E．
阿聰同學(xué)提出了一種計(jì)算此能量E的方法：消耗的能量由兩部分組成，一部分是克服萬(wàn)有引力做的功W_引（等于引力勢(shì)能的增加量）；另一部分是飛船獲得的動(dòng)能E_K=

1

2

mv²（v為飛船在環(huán)月軌道上運(yùn)行的線速度），最后算出：E=

1

2

mv²+W_引，請(qǐng)根據(jù)阿聰同學(xué)的思路算出最后的結(jié)果（不計(jì)飛船質(zhì)量的變化及其他天體的引力和月球的自轉(zhuǎn)等影響）．

Answer 1

分析：將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量等于動(dòng)能和勢(shì)能的增加量，勢(shì)能增加量根據(jù)公式E_p=-G

Mm

r

求解，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求解動(dòng)能增加量．

解答：解：由題意知：
W_引=△Ep=-G

Mm

(R+H)

-[-G

Mm

R

]=

GMmH

R(R+H)

              
飛船在軌道上：
G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

…①
所以：

1

2

mv2=

GMm

2(R+H)

 …②
所發(fā)射飛船消耗的能量至少為：
E=

1

2

mv2+W引=

GMm

2(R+H)

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

…③
另解：飛船在未發(fā)射時(shí)，在月球表面：G

Mm

R2

=mg；
所以：GMm=mgR² …④
④代入③有：E=

mgR(R+2H)

2(R+H)

答：要將探月飛船從月球表面發(fā)送到離月球表面高度為H的環(huán)月軌道消耗的能量至少為

GMm(R+2H)

2R(R+H)

或者

mgR(R+2H)

2(R+H)

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的向心力來(lái)源、勢(shì)能的表達(dá)式、動(dòng)能的表達(dá)式，然后根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律列式求解．