Question

（2012?鹽城三模）如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=3m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的質(zhì)量為M=3kg的長(zhǎng)木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，
圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點(diǎn)和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）AC兩點(diǎn)的高度差；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板的最小長(zhǎng)度．（sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

分析：（1）小球從A點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，將C點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據(jù)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出AC兩點(diǎn)的高度差．
（2）求出C點(diǎn)的速度，對(duì)C到D運(yùn)用動(dòng)能定理求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）當(dāng)小物塊剛好不從長(zhǎng)木板滑出時(shí)，與木板具有相同的速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出共同的速度，因?yàn)槟Σ亮εc相對(duì)路程的乘積等于產(chǎn)生的熱量，結(jié)合能量守恒定律求出木板的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）小物塊在C點(diǎn)速度大小為：v_C=

v0

cos53°

=5 m/s，
豎直分量：v_Cy=4 m/s 
下落高度：h=

vcy2

2g

=0.8m  
（2）小物塊由C到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mgR（1-cos 53°）=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
解得：v_D=

29

m/s
小球在D點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

vD2

R

代入數(shù)據(jù)解得：F_N=68N  
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=68N，方向豎直向下
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板左端達(dá)到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過(guò)程中，小物塊與長(zhǎng)木板的加速度大小分別為：
a₁=μg=3 m/s²，a₂=

μmg

M

=1 m/s²
速度分別為：v=v_D-a₁t，v=a₂t  
對(duì)物塊和木板系統(tǒng)，由能量守恒定律得：
μmgL=

1

2

mv_D²-

1

2

（m+M） v² 
解得：L=3.625 m，即木板的長(zhǎng)度至少是3.625 m
答：（1）AC兩點(diǎn)的高度差為0.8m．
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為68N．
（3）木板的最小長(zhǎng)度為3.625m．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．