Question

如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)．場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d₁，間距為d₂．兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直． （設(shè)重力加速度為g） 
（1）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能△E_k．
（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b 又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．且a．b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相．求b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）對(duì)于第（2）問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v．

Answer 1

分析：（1）a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，穿過(guò)回路的磁通量不變，沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，兩棒均不受安培力，機(jī)械能守恒，可求出△E_k．
（2）兩棒分在磁場(chǎng)區(qū)域中和無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過(guò)程研究：在磁場(chǎng)區(qū)域中，導(dǎo)體棒的動(dòng)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中機(jī)械能守恒，則可根據(jù)能量守恒和機(jī)械能守恒列式求出b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）本問(wèn)有一定的難度，由于導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運(yùn)動(dòng)知識(shí)解答，可以通過(guò)微積分思想進(jìn)行解答，如在極短的時(shí)間內(nèi)安培力可以認(rèn)為不變，利用牛頓第二定律列方程，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）a和b不受安培力作用，由機(jī)械能守恒知△E_k=mgd₁sinθ①
（2）設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v₁，剛離開無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v₂，由能量守恒知
在磁場(chǎng)區(qū)域中，

1

2

m

v

2 1

+Q=

1

2

m

v

2 2

+mgd1sinθ ②
在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中 

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m

v

2 1

+mgd2sinθ  ③
解得 Q=mg（d₁+d₂）sinθ  ④
（3）在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 v₂-v₁=gtsinθ⑤
且平均速度 

v1+v2

2

=

d2

t

 ⑥
有磁場(chǎng)區(qū)域，棒a受到合力 F=mgsinθ-BIl ⑦
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ε=Blv ⑧
感應(yīng)電流   I=

ε

2R

 ⑨
解得 F=mgsinθ-

B2l2

2R

v ⑩
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)=ma=m

△v

△t

在t到t+△t時(shí)間內(nèi)
（mgsinθ-

B2l2v

2R

）△t=m△v
則有mgsinθ△t-

B2l2

2R

v△t=m△v
解得v₁-v₂=gtsinθ-

B2l2

2mR

d1
聯(lián)立⑤⑥解得 v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

由題意知v=v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

答：（1）b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能△E_k為mgd₁sinθ．
（2）b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q為mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v為

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

．

點(diǎn)評(píng)：注意克服安培力做功為整個(gè)回路中產(chǎn)生的熱量；本題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，方法巧妙，在平時(shí)練習(xí)中一定注意數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用．