Question

【題目】物理中存在“通量”這個(gè)物理量，“通量”的定義要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)．在高中階段，對(duì)“通量”的定義采用的是簡(jiǎn)單化處理方法并輔以形象化物理模型進(jìn)行理解．

（1）“磁通量”就是一種常見的“通量”．在高中階段我們是這樣來(lái)定義“磁通量”的：設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直的平面，面積為，我們把與的乘積叫做穿過(guò)這個(gè)面積的磁通量（圖1），簡(jiǎn)稱磁通．用字母表示，則．磁通量可以形象地理解為穿過(guò)某一面積的磁感線條數(shù)的多少．如圖2所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為．一個(gè)面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為，試求穿過(guò)該矩形線圈的磁通量．

（2）“電通量”也是一種常見的“通量”．在定義“電通量”時(shí)只需要把“磁通量”中的磁感應(yīng)強(qiáng)度替換為電場(chǎng)強(qiáng)度即可．請(qǐng)同學(xué)們充分運(yùn)用類比的方法解決以下問(wèn)題．已知靜電力常量為．

圖3 圖4

a．如圖3所示，空間存在正點(diǎn)電荷，以點(diǎn)電荷為球心作半徑為的球面，試求通過(guò)該球面的電通量．

b．上述情況映射的是靜電場(chǎng)中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫(kù)侖定律出發(fā)得到嚴(yán)格證明．“高斯定理”可表述為：通過(guò)靜電場(chǎng)中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內(nèi)所含電荷量與的乘積，即,其中為靜電力常量．試根據(jù)“高斯定理”證明：一個(gè)半徑為的均勻帶電球體（或球殼）在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)，與一個(gè)位于球心的、電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，球外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是，式中是球心到該點(diǎn)的距離， 為整個(gè)球體所帶的電荷量．

Answer 1

【答案】（1）（2）a． b．

【解析】（1）．

（2）a．根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，求得球面上各處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，

由于球面上各處電場(chǎng)強(qiáng)度方向都與球面垂直，故通過(guò)球面的電通量為，

，

b．證明：過(guò)距離球心距離的點(diǎn)作一球面，根據(jù)對(duì)稱性可知該球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向處處球面垂直．設(shè)該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為，通過(guò)該球面的電通量為，則

，

由高斯定理知， ，

所以有，

化簡(jiǎn)得，這就是球心處的點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，證明完畢．