Question

如圖所示，整個(gè)空間中存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．經(jīng)過(guò)桌邊的虛線PQ與桌面成45°角，其上方有足夠大的垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．光滑絕緣水平桌面上有兩個(gè)可以視為質(zhì)點(diǎn)的絕緣小球，A球?qū)ψ烂娴膲毫�為零，其質(zhì)量為m，電量為q；B球不帶電且質(zhì)量為是km（k＞7）．A、B間夾著質(zhì)量可忽略的火藥．現(xiàn)點(diǎn)燃火藥（此時(shí)間極短且不會(huì)影響小球的質(zhì)量、電量和各表面的光滑程度），火藥炸完瞬間A的速度為v₀．求：
（1）火藥爆炸過(guò)程中有多少化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能；
（2）A球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若一段時(shí)間后AB在桌上相遇，求爆炸前A球與桌邊P的距離．

Answer 1

分析：（1）爆炸過(guò)程，AB的總動(dòng)量守恒，可求出爆炸后瞬間B球的速度，根據(jù)能量守恒定律求解火藥爆炸過(guò)程中有多少化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能；
（2）由題，A球?qū)ψ烂娴膲毫�為零，重力和電�?chǎng)力平衡，爆炸后A進(jìn)入磁場(chǎng)中后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，畫(huà)出軌跡，由軌跡的圓心角求解時(shí)間．
（3）若一段時(shí)間后AB在桌上相遇，由幾何關(guān)系得到兩球的位移關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解爆炸前A球與桌邊P的距離．

解答：解：（1）設(shè)爆炸之后B的速度為v_B，選向左為正方向
在爆炸前后由動(dòng)量守恒可得：0=mv₀-kmv_B   得v_B=

v0

k

．   
又由能量守恒可得：E=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

km

v

2 B

=

k+1

2k

m

v

2 0

（2）由“A球?qū)ψ烂娴膲毫�為零”可知重力和電�?chǎng)力等大反向，故A球進(jìn)入電場(chǎng)中將會(huì)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則
周期為T(mén)=

2πm

qB

畫(huà)出軌跡，如圖所示，由幾何知識(shí)可得：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了

3

4

個(gè)圓周
則 A球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

3

4

T=

3πm

2qB

；
（3）A球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R=

mv0

qB

設(shè)爆炸前A球與桌邊P的距離為x_A，爆炸后B運(yùn)動(dòng)的位移為x_B，時(shí)間為t_B
則  t_B=

xA

v0

+t+

R

v0

         
又  x_B=v_Bt               
由圖可得：R=x_A+x_B         
聯(lián)立上述各式解得：x_A=

2k-2-3π

2(k+1)

?

mv0

qB

答：
（1）火藥爆炸過(guò)程中有

k+1

2k

m

v

2 0

的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能；
（2）A球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

3πm

2qB

；
（3）若一段時(shí)間后AB在桌上相遇，爆炸前A球與桌邊P的距離為

2k-2-3π

2(k+1)

?

mv0

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析受力情況來(lái)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程是基礎(chǔ)，同時(shí)要抓住兩球之間的關(guān)系，比如運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性等等進(jìn)行研究．