Question

如圖所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端向上彎曲，其余水平，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場I，右端有另一磁場II，其寬度也為d，但方向豎直向下，磁場的磁感強度大小均為B．有兩根質量均為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導軌垂直放置，b棒置于磁場II中點C、D處，導軌除C、D兩處（對應的距離極短）外其余均光滑，兩處對棒可產生總的最大靜摩擦力為棒重力的K倍，a棒從彎曲導軌某處由靜止釋放．當只有一根棒作切割磁感線運動時，它速度的減小量與它在磁場中通過的距離成正比，即△v∝△x．
（1）若a棒釋放的高度大于h₀，則a棒進入磁場I時會使b棒運動，判斷b 棒的運動方向并求出h₀．
（2）若將a棒從高度小于h₀的某處釋放，使其以速度v₀進入磁場I，結果a棒以

v0

2

的速度從磁場I中穿出，求在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量q和兩棒即將相碰時b棒上的電功率P_b．
（3）若將a棒從高度大于h₀的某處釋放，使其以速度v₁進入磁場I，經過時間t₁后a棒從磁場I穿出時的速度大小為

2v1

3

，求此時b棒的速度大小，在如圖坐標中大致畫出t₁時間內兩棒的速度大小隨時間的變化圖象，并求出此時b棒的位置．

Answer 1

（1）根據(jù)左手定則判斷知b棒向左運動．
a棒從h₀高處釋放后在彎曲導軌上滑動時機械能守恒，有
mgh₀=

1

2

mv²
得v=

2gh0

a棒剛進入磁場I時E=BLv
此時感應電流大小I=

E

2R

此時b棒受到的安培力大小F=BIL
依題意，有F=Kmg
求得h₀=

2K2m2gR2

B4L4

（2）由于a棒從小于進入h₀釋放，因此b棒在兩棒相碰前將保持靜止．
流過電阻R的電量q=

.

I

△t
又

.

I

=

. E

R總

=

B△S

R總△t

所以在a棒穿過磁場I的過程中，通過電阻R的電量
q=

BLd

2R

將要相碰時a棒的速度
v=

v0

2

-

v0- v0 2

d

×

d

2

=

v0

4

此時電流I=

BLv0

8R

此時b棒電功率P_b=I²R=

B2L2v 20

64R

．
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當a棒進入磁場I后，b棒開始向左運動．由于每時每刻流過兩棒的電流強度大小相等，兩磁場的磁感強度大小也相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運動，且每時每刻兩棒的加速度大小均相同，所以當a棒在t₁時間內速度改變（v₁-

2

3

v₁）=

1

3

v₁時，b棒速度大小也相應改變了

1

3

v₁，即此時b棒速度大小為

1

3

v₁． 
兩棒的速度大小隨時間的變化圖象大致如圖所示：



通過圖象分析可知，在t₁時間內，兩棒運動距離之和為v₁t₁，所以在t₁時間內b棒向左運動的距離為△S=（v₁t₁-d），
距離磁場II左邊界距離為
△L=

d

2

-△S=

3d

2

-v₁t₁．