Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy的0≤x≤2L、0≤y≤L區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)重力，帶正電的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入電場(chǎng)后，恰好從M（2L，L）點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后將有機(jī)會(huì)進(jìn)入一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=

2mv0

qL

、方向垂直于紙面向外的矩形磁場(chǎng)區(qū)域，并最終從x軸上的N（4L，0）點(diǎn)與x軸正向成45°角離開(kāi)第一象限，題中只有m、v₀、q、L為已知量，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度e；
（2）粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）如果粒子離開(kāi)M點(diǎn)后有機(jī)會(huì)進(jìn)入的是垂直紙面向里的矩形磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仍然為B=

2mv0

qL

，粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后仍然能從x軸上的N點(diǎn)與x軸正向成45°角離開(kāi)第一象限，則該矩形區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)沿電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)求出粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系確定粒子的軌跡以及圓心角，求出在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，出磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求出勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三個(gè)時(shí)間之和為所求的總時(shí)間．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仍然為B=

2mv0

qL

，則粒子的軌道半徑不變，矩形區(qū)域與軌跡相切，結(jié)合幾何關(guān)系求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形區(qū)域的最小面積S．

解答：解：（1）由帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)有L=

1

2

?a

t

2 1

…①
2L=v₀t₁…②
Eq=ma…③
由①②③有E=

m v 2 0

2qL

       t1=

2L

v0

（2）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)y方向上有v_y=at₁=v₀
v=

2

v0    θ=45°
粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)有Bqv=m

v2

R

…④
R=

2

2

L
由幾何關(guān)系，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后直接進(jìn)入磁場(chǎng)四分之一圓周之后離開(kāi)磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2=

π 2 R

v

=

πL

4v0

…⑤
粒子勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3=

2 L

v

…⑥
則t=t₁+t₂+t₃…⑦
由②⑤⑥⑦有：t=

(12+π)L

4v0

（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
矩形邊長(zhǎng)為b=2R，c=R+Rcos45°
S=bc=

2 +2

2

L2
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

m v 2 0

2qL

（2）粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

(12+π)L

4v0

（3）該矩形區(qū)域的最小面積為

2 +2

2

L2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的幾何能力要求較高，關(guān)鍵畫(huà)出粒子的軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律以及向心力等知識(shí)進(jìn)行求解．