Question

如圖（甲）所示，小物塊m₁與m₂通過一輕彈簧相連，靜止于固定的光滑水平長木板上，物塊m₁與固定在長木板上的豎直擋板接觸．現(xiàn)將小物塊m₃正對物塊m₁與m₂的方向以初速度v₀運(yùn)動(dòng)，與物塊m₂發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞．已知物塊m₁與m₂的質(zhì)量均為m，物塊m₃的質(zhì)量為m/3，彈簧的勁度系數(shù)為k，且下述過程中彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)．



（1）試求在碰后過程中物塊m₃的速度和物塊m₁的最大速度；
（2）若只將長木板右端抬高，變成傾角為θ的固定斜面，如圖（乙）所示，物塊m₁、m₂處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)讓物塊m₃從長木板上的A點(diǎn)靜止釋放，與物塊m₂相碰后粘合在一起，為使物塊m₂、m₃向上反彈到最大高度時(shí)，物塊
m₁對擋板的壓力恰為零，則A點(diǎn)與碰撞前物塊m₂的距離為多大？整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中彈簧最多比原來增加多少彈性勢能？

Answer 1

（1）設(shè)碰撞后物塊m₃的速度為v₁，m₂的速度為v₂
碰撞過程中動(dòng)量守恒，m₃v₀=m₃v₁+m₂v₂
又發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞，

1 2 m3v

20

=

1 2 m3v

23

+

1 2 m2v

22

解得：v₁=-

1

2

v₀，v₂=

1

2

v₀
即物塊m₃的速度大小是

1

2

v₀，方向水平向右．
物塊m₁離開擋板時(shí)，物塊m₂的速度大小是

1

2

v₀，方向向右．
當(dāng)物塊m₁的速度最大時(shí)，彈簧恢復(fù)原長，設(shè)物塊m₁的最大速度為v_m，此時(shí)物塊m₂的速度為v₃，
根據(jù)m₁、m₂和彈簧系統(tǒng)動(dòng)量守恒得
m₂

v0

2

=m₂v₃+m₁v_m

1 2 m2( v0 2 )

2

=

1 2 m2v

23

+

1 2 m1v

2m

解得：v_m=

1

2

v₀
（2）設(shè)物塊m₃和物塊m₂碰撞前彈簧壓縮量為x₁，mgsinθ=kx₁，
設(shè)物塊m₃開始下滑時(shí)離物塊m₂的距離為L，下落到與物塊m₂碰前的速度為v₄，
根據(jù)機(jī)械能守恒得
m₃gsinθ L=

1 2 m3v

24

物塊m₃和物塊m₂碰撞，動(dòng)量守恒，設(shè)碰后物塊速度為v₅
m₃v₄=（m₃+m₂）v₅
當(dāng)物塊m₂向上反彈到最大高度時(shí)，物塊m₁對擋板的壓力恰為零，此時(shí)彈簧伸長x₂=x₁．
彈簧的彈性勢能相等，碰撞后整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，

1

2

（m₃+m₂）

v

25

=（m₃+m₂）g?2x₂sinθ
解得：L=

32mgsinθ

k

彈簧壓縮最大時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中彈簧增加的彈性勢能最大，此時(shí)物塊m₂的速度為零，對物塊m₃和物塊m₂粘合在一起后與彈簧組成的系統(tǒng)，
設(shè)靜止時(shí)彈簧的壓縮量為x₃，所以（m₃+m₂）ginθ=kx₃
由運(yùn)動(dòng)的對稱性可知，物塊m₃和物塊m₂整體向下運(yùn)動(dòng)的最大距離為s=2x₃
設(shè)彈簧最多增加的彈性勢能為△E_pm，對物塊m₃、m₂和彈簧組成的系統(tǒng)，由功能關(guān)系得
△E_pm=

1

2

（m₃+m₂）

v

25

+（m₃+m₂）g?s?inθ
解得：△E_pm=

56(mgsinθ)2

9k

答：（1）在碰后過程中物塊m₃的速度和物塊m₁的最大速度是

1

2

v₀；
（2）A點(diǎn)與碰撞前物塊m₂的距離為

32mgsinθ

k

，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中彈簧最多比原來增加

56(mgsinθ)2

9k

彈性勢能．