Question

如圖所示是一個(gè)同學(xué)所設(shè)計(jì)的一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置；一個(gè)內(nèi)壁光滑的矩形框架豎直固定在水平地面上，一個(gè)質(zhì)量為M=0.48kg、半徑為R=0.5m的金屬光滑圓環(huán)豎直放在框架內(nèi)，圓環(huán)左右剛好和框架兩壁相接觸．一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的光滑金屬小球放在圓環(huán)內(nèi)的底部．在圓環(huán)底部突然敲擊一下小球，使小球突然獲得一個(gè)水平的初速度，小球便在圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)．該同學(xué)通過(guò)實(shí)驗(yàn)總結(jié)出：小球初速度存在一個(gè)范圍，在此范圍內(nèi)，小球既能夠在圓環(huán)內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，且小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)還不能離開(kāi)框架底部．重力加速度為g=10m/s²．請(qǐng)你幫助該同學(xué)求出小球初速度的這一范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)小球的初速度最小值時(shí)，小球到最高點(diǎn)對(duì)圓環(huán)沒(méi)有壓力，根據(jù)向心力與機(jī)械能守恒定律求出初速度最小值．
小球的初速度為最大值時(shí)，小球到最高點(diǎn)，圓環(huán)對(duì)框架恰好沒(méi)有壓力，根據(jù)向心力與機(jī)械能守恒定律求出初速度最大值．

解答：解：（1）當(dāng)小球的初速度最小值為v₁時(shí)，設(shè)小球到最高點(diǎn)的速度為v，此時(shí)小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)沒(méi)有壓力，有：
對(duì)小球：最低點(diǎn)到最高點(diǎn)有

1

2

mv

2 1

=

1

2

mv2+2mgR
在最高點(diǎn)：mg=

mv2

R

解得：v₁=

5gR

=5m/s
（2）當(dāng)小球的初速度為最大值v₂時(shí)，設(shè)小球到最高點(diǎn)的速度為v′，此時(shí)小球在最高點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)對(duì)框架恰好沒(méi)有壓力，
設(shè)此時(shí)圓環(huán)對(duì)小球的壓力為F，
對(duì)小球：最低點(diǎn)到最高點(diǎn)有

1

2

mv

2 2

=

1

2

mv′2+2mgR
在最高點(diǎn)：F+mg=

mv′2

R

對(duì)圓環(huán)有：F=Mg
解得：v₂=7m/s
所以小球的初速度范圍為：5m/s≤v₀≤7m/s．
答：小球初速度的范圍是5m/s≤v₀≤7m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向心力與機(jī)械能守恒定律結(jié)合分析問(wèn)題的能力．對(duì)于小球在光滑圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的臨界速度與細(xì)繩拴的小球模型相同為

gR

．