Question

如圖所示，兩平行金屬板水平放置，板間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一帶電粒子以初速度V₀沿上板邊緣垂直于電場(chǎng)線射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，它剛好貼著下板邊緣飛出．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)兩極板長(zhǎng)L，間距為d，（粒子的重力忽略不計(jì)）求：
（1）如果帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，則離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，沿場(chǎng)強(qiáng)方向的側(cè)向位移y為多少？
（2）如果帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的豎直位移仍為d時(shí)，它的水平位移x為多少？
（3）如果帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能與帶電粒子以初速度V₀射入勻強(qiáng)電場(chǎng)后離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能之比？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直于電場(chǎng)線射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，只受電場(chǎng)力作用，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別列出水平位移和豎直位移表達(dá)式，運(yùn)用比例法，求出初速度變?yōu)?V₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，沿場(chǎng)強(qiáng)方向的側(cè)向位移y．
（2）粒子離開(kāi)電場(chǎng)后速度反向延長(zhǎng)線交上板的中點(diǎn)，根據(jù)三角知識(shí)求出速度偏向角與位移、板長(zhǎng)的關(guān)系，再求出水平位移x．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理分別兩種情況下粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能，再結(jié)合初動(dòng)能與板間電壓的關(guān)系，求解粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能之比．

解答：解：
（1）帶電粒子的初速度為v₀時(shí)，
     水平方向：L=v₀t₁
     豎直方向：d=

1

2

a

t

2 1

聯(lián)立得到，d=

1

2

a(

L

v0

)2
帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀時(shí)，
    水平方向：L=2v₀t₂
    豎直方向：y=

1

2

a

t

2 2

聯(lián)立得到，y=

1

2

a(

L

2v0

)2=

1

4

d
（2）帶電粒子的初速度變?yōu)?v₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的偏向角為φ．根據(jù)推論可知，粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線交于上板的中點(diǎn)．則根據(jù)幾何知識(shí)有
   tanφ=

d 4

L 2

=

d

2L

，又tanφ=

d

LAB

  
 解得 L_AB=2L
所以x=0.5L+L_AB=2.5L
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得，

v0入射時(shí)：qu=Ek1- 1 2 m v 2 0 2v0入射時(shí)：q u 4 =Ek2- 1 2 m(2v0)2

由第（1）問(wèn)d=

1

2

a(

L

v0

)2，a=

qu

md

得

剛好貼著下板邊緣飛出有： d= quL2 2m v 2 0 d

聯(lián)立解得：

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

答：
（1）帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，沿場(chǎng)強(qiáng)方向的側(cè)向位移y為

1

4

d．
（2）帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的豎直位移仍為d時(shí)，它的水平位移x為2.5L．
（3）如果帶電粒子的初速度變?yōu)?V₀，粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能與帶電粒子以初速度V₀射入勻強(qiáng)電場(chǎng)后離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能之比

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)用了力學(xué)中牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理等多個(gè)規(guī)律．對(duì)于第（2）問(wèn)也可以根據(jù)三角形相似法求出水平位移．