Question

（2013?廈門(mén)一模）如圖所示，MN為兩平行金屬板，O、O為兩金屬板中心處正對(duì)的兩個(gè)小孔，N板的右側(cè)空間有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B且方向相反的兩勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，圖中N板與虛線(xiàn)CD、PQ為兩磁場(chǎng)邊界線(xiàn)，三條界線(xiàn)平行，兩磁場(chǎng)區(qū)域的寬度分別為d和3d，沿邊界線(xiàn)方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．在兩金屬板上加上大小可調(diào)節(jié)的直流電壓，質(zhì)量為m、電量為-q的帶電粒子（重力不計(jì)）；從O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)MN板間的電場(chǎng)加速后，從O'沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，若粒子能穿過(guò)CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng)但不能穿過(guò)PQ界，最終打到N板而結(jié)束運(yùn)動(dòng)，試求：
（1）粒子要能穿過(guò)CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng)，MN板間的電壓至少要大于多少；
（2）粒子不穿過(guò)PQ界，粒子從O射入磁場(chǎng)所允許的最大速率；
（3）最大速率射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析：先由動(dòng)能定理求出加速場(chǎng)中加速后獲得的速度的表達(dá)式；由幾何關(guān)系確定半徑然后由根據(jù)牛頓第二定律列方程；
先畫(huà)出粒子在右邊磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，相切時(shí)為臨界情況，由幾何關(guān)系確定半徑，然后求得速度v；
確定出粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角，然后根據(jù)周期公式求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)MN間電壓為U₀時(shí)，若粒子在CD左側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧與CD界相切，如圖甲，
粒子經(jīng)電場(chǎng)加速：qU₀=

1

2

mv₀²
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓周半徑：r₀=d
qBv₀=m

v02

r0

由上述得：U₀=

qB2d2

2m

粒子要穿過(guò)C界，電壓應(yīng)大于：

qB2d2

2m

．
（2）設(shè)粒子射入磁場(chǎng)速度為v時(shí)，粒子在CD左側(cè)軌跡圓心為O₁，右側(cè)軌跡圓心為O₂且圓弧與PQ相切，恰好不射出PQ界，
如圖乙，
有：左右兩圓周半徑相同，均為r=2d
qBv=

mv2

r

得：v=

2qBd

m

（3）由圖得圓弧圓心角為θ=

π

6

，α=

4π

3

粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

粒子經(jīng)過(guò)三段圓弧運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為：
t₁=t₃=

θ

2π

T
t₂=

α

2π

T
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=

5πm

3qB

答：（1）粒子要能穿過(guò)CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng)，MN板間的電壓至少要大于：

qB2d2

2m

；
（2）粒子不穿過(guò)PQ界，粒子從O射入磁場(chǎng)所允許的最大速率為

2qBd

m

；
（3）最大速率射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

5πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是能畫(huà)出臨界情況的運(yùn)動(dòng)軌跡．