Question

[選做題]]如圖所示，兩根正對(duì)的平行金屬直軌道MN、M?N?位于同一水平面上，兩軌道之間的距離l=0.50m．軌道的MM′端之間接一阻值R=0.40Ω的定值電阻，NN′端與兩條位于豎直面內(nèi)的半圓形光滑金屬軌道NP、N′P′平滑連接，兩半圓軌道的半徑均為R₀=0.50m．直軌道的右端處于豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.64T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d=0.80m，且其右邊界與NN′重合．現(xiàn)有一質(zhì)量m=0.20kg、電阻r=0.10Ω的導(dǎo)體桿ab靜止在距磁場(chǎng)的左邊界s=2.0m處．在與桿垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab桿開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)的左邊界時(shí)撤去F，結(jié)果導(dǎo)體ab恰好能以最小速度通過半圓形軌道的最高點(diǎn)PP′．已知導(dǎo)體桿ab在運(yùn)動(dòng)過程中與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，導(dǎo)體桿ab與直軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，軌道的電阻可忽略不計(jì)，取g=10m/s²，求：
（1）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，通過導(dǎo)體桿上的電流大小和方向；
（2）導(dǎo)體桿穿過磁場(chǎng)的過程中通過電阻R上的電荷量；
（3）導(dǎo)體桿穿過磁場(chǎng)的過程中整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

（1）設(shè)導(dǎo)體桿在 F 的作用下運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)的左邊界時(shí)的速度為v₁，
根據(jù)動(dòng)能定理則有（F-μmg）s=

1

2

mv₁²
導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Blv₁
此時(shí)通過導(dǎo)體桿的電流大小 I=

E

R+r

=3.8A（或3.84A）
根據(jù)右手定則可知，電流方向?yàn)?b 向 a．
（2）設(shè)導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值為

.

E

，
則由法拉第電磁感應(yīng)定律有

.

E

=

△?

t

=

Bld

t

通過電阻 R 的感應(yīng)電流的平均值為

.

I

=

. E

R+r

通過電阻 R 的電荷量 q=

.

I

t=0.51C
（3）設(shè)導(dǎo)體桿離開磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₂，運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高點(diǎn)的速度為v₃，
因?qū)�體桿恰好能以最小速度通過半圓形軌道的最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，
對(duì)導(dǎo)體桿在軌道最高點(diǎn)時(shí)有 mg=

mv32

R0

對(duì)于導(dǎo)體桿從NN′運(yùn)動(dòng)至 PP′的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

mv₂²=

1

2

mv₃²+mg2R₀ 解得 v₂=5.0m/s
導(dǎo)體桿穿過磁場(chǎng)的過程中損失的機(jī)械能△E=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₂²=1.1J
此過程中電路中產(chǎn)生的焦耳熱為 Q=△E-μmgd=0.94J．
答：（1）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，通過導(dǎo)體桿上的電流大小為3.8A，方向?yàn)?b 向 a；
（2）導(dǎo)體桿穿過磁場(chǎng)的過程中通過電阻R上的電荷量為0.51C；
（3）導(dǎo)體桿穿過磁場(chǎng)的過程中整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱為0.94J．