Question

如圖所示，在半徑為a（大小未知）的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面），固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的彈性等邊三角形框架DEF，其中心O位于圓柱的軸線上．在三角形框架DEF與圓柱之間的空間中，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場，其方向平行于圓柱軸線垂直紙面向里．在EF邊上的中點(diǎn)S處有一發(fā)射帶電粒子的粒子加速器，粒子發(fā)射的方向均在截面內(nèi)且垂直于EF邊并指向磁場區(qū)域．發(fā)射粒子的電量均為q（q＞o），質(zhì)量均為m，速度大小均為v=

qBL

6m

，若粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，且粒子在碰撞過程中所帶的電量不變．（不計(jì)帶電粒子的重力，不計(jì)帶電粒子之間的相互作用）求：
（1）為使初速度為零的粒子速度增加到v=

qBL

6m

，在粒子加速器中，需要的加速電壓為多大；
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；．
（3）若滿足：從S點(diǎn)發(fā)射出的粒子都能再次返回S點(diǎn)，則勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面圓周半徑a至少為多大；
（4）若勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面圓周半徑a滿足第（3）問的條件，則從S點(diǎn)發(fā)射出的某帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)射到第一次返回S點(diǎn)的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，通過末動(dòng)能求出加速電壓的大�。�
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（3）根據(jù)帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合等邊三角形邊長，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡同場區(qū)內(nèi)切時(shí)，場區(qū)半徑有最小值，根據(jù)幾何關(guān)系求出勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面圓周半徑的最小值．
（4）求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)幾何關(guān)系知，從S點(diǎn)發(fā)射出的某帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)射到第一次返回S點(diǎn)經(jīng)歷了

11

2

個(gè)周期，從而得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）在粒子加速器中，帶電粒子在電場中被加速，根據(jù)動(dòng)能定理可知：qU=

1

2

mv2
U=

qB2L2

72m

．
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可知：qvB=m

v2

r

解得r=

mv

qB

=

L

6

．
（3）設(shè)想某個(gè)帶電粒子從S發(fā)射后又能回到S，則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡同場區(qū)內(nèi)切時(shí)，場區(qū)半徑有最小值a_min．
amin=OG=OF+FG=r+

3

3

L=(

1

6

+

3

3

)L．
（4）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由周期公式得：T=

2πr

v

=

2πm

qB

．
由軌跡圖知，某帶電粒子從S發(fā)射后第一次返回到S的時(shí)間為：t=

11

2

T=

11πm

qB

．
答：（1）需要的加速電壓為U=

qB2L2

72m

．
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

L

6

．
（3）勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面圓周半徑a至少為(

1

6

+

3

3

)L．
（4）從S點(diǎn)發(fā)射出的某帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)射到第一次返回S點(diǎn)的時(shí)間是

11πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．