Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．用質量為m=0.1kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊通過B點后其位移與時間的關系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）物塊平拋的水平距離
（2）物塊從B點運動到P點的時間
（3）物塊能否到達M點，說明理由．

Answer 1

分析：（1）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，豎直方向上做自由落體運動，運用位移公式和速度公式得出時間和豎直分速度，再根據角度關系求出水平分速度，即離開D點時的速度v_D，即可求得平拋的水平距離．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線運動的位移公式x=v₀t+

1

2

at2進行比對，得到物塊通過B點后的初速度和加速度，由速度公式即可求得從B到D的時間，即可求得從B點運動到P點的時間．
（3）物塊在內軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，有mg=m

v 2 M

R

，根據機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．

解答：解：（1）依題意可知，平拋經過P點時速度與水平方向夾角為45°．
由tan45°=

vy

vx

 平拋運動豎直方向上做自由落體運動，水平方向做勻速直線運動，則有
   v_x=v_D，v_y=gt₁
   s=v_Dt，R=

1

2

gt₁²
解得物體平拋的時間t₁=

2R g

=

2×0.8 10

=0.4s，
豎直分速度 v_y=gt₁=4m/s  
平拋水平初速度 v_D=4m/s
平拋水平距離s=1.6m              
將x=6t-2t²，與勻變速直線運動的位移公式x=v₀t+

1

2

at2進行比對，由可知物體經過B點速度 v_B=6m/s，由B運動到D的加速度大小為a=-4m/s²．
又 v_D=4m/s
故物體由B運動到D的時間t2=

vD-vB

a

=

4-6

-4

s=0.5s
物體由B運動到P的時間    t=t₁+t₂=0.9s
（3）由（1）可知，物體經過P點的速度大小 v_P=

2

vD=4

2

m/s
假設物體能經過M點，由動能定理得
-mg（R+Rcos45°）=

1

2

mv_M²-

1

2

mv_P²
 解得v_M=

16-8 2

m/s
設物體能經過M點的臨界速度為v_min，則有mg=m

v 2 min

R

可知   v_min=2

2

 m/s
因v_M＜v_min，可知物體無法經過M點
答：
（1）物塊平拋的水平距離是1.6m．
（2）物塊從B點運動到P點的時間是0.9s．
（3）物塊不能到達M點．

點評：該題是平拋運動、圓周運動的綜合題，該題中要熟練掌握機械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運動的臨界問題．