Question

（2007?崇文區(qū)二模）如圖是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”示意圖，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底．然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿被提上來，如此周而復始（夯桿被滾輪提升過程中，經歷勻加速和勻速運動過程）．已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，滾輪對夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，夯桿質量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，取g=10m/s²．求：
（1）夯桿被滾輪帶動加速上升的過程中，加速度的大小；并在給出的坐標圖中定性畫出夯桿在一個打夯周期內速度v隨時間t變化的圖象；
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿做的功；
（3）每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）夯桿底端剛到達坑口的運動過程中，先做勻加速直線運動，當速度達到滾輪的線速度時，做勻速直線運動，到達坑口后，做豎直上拋運動；根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，根據(jù)運動學公式求解速度；
（2）夯桿先受到滑動摩擦力，然后受靜摩擦力，電動機對夯桿所做的功等于摩擦力做的功；
（3）求出在每個周期內滾輪與夯桿間的相對位移，從而根據(jù)Q=fs_相對求出因摩擦產生的熱量．

解答：解：（1）夯桿加速上升階段：
加速度  a=

2μFN-mg

m

解得a=2m/s²  
夯桿在一個運動周期內v-t圖象如圖所示；

（2）夯桿加速上升的高度 h1=

v2

2a

在加速上升階段，電動機對夯桿做的功   W₁=2μF_Nh₁=4.8×10⁴J 
夯桿勻速上升階段上升高度   h₂=h-h₁=2.4m  
電動機對夯桿做的功   W₂=mgh₂=2.4×10⁴J  
每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功  W=W₁+W₂=7.2×10⁴J 
（3）夯桿加速上升的時間 t1=

v

a

=2s
滾輪邊緣轉過的距離是 s=vt₁=8m  
相對夯桿的位移是  L=8m-4m=4m   
摩擦產生的熱量  Q=2μF_NL       
Q=4.8×10⁴J  
答：（1）如圖所示；
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿做的功為7.2×10⁴J；
（3）每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產生的熱量為4.8×10⁴J．

點評：解決本題的關鍵理清夯桿的運動過程，知道夯桿在一個周期內先做勻加速上升，再做勻速上升，最后勻減速上升到零，做自由落體到坑底．