Question

如圖1所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強磁場，MN、PQ是相互平行的粗糙的長直導軌，處于同一水平面內(nèi)，其間距L=0.2m，R是連在導軌一端的電阻，ab是跨接在導軌上質量m=0.1kg的導體棒，從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做加速運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好，圖2是棒的速度一時間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動機在12s末達到額定功率，P額=4.5W，此后功率保持不變，除R以外，其余部分的電阻均不計，g=10m/s²．
（1）求導體棒在0-12s內(nèi)的加速度大小；
（2）求導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)及電阻R的阻值；
（3）若已知0-12s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量為12.5J，則此過程中牽引力的沖量為多少？牽引力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）由乙圖知：導體棒在0-12s內(nèi)做勻加速運動，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點：由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推導出安培力的表達式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達式；圖中C點：導體棒做勻速運動，由平衡條件再得到含μ和R的表達式，聯(lián)立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內(nèi)導體棒發(fā)生的位移，由動量定理，結合速度可求出過程中沖量；根據(jù)功的表達式，可求出引力做功．

解答：解：（1）由圖中可得：12s末的速度為：v₁=9m/s，t₁=12s
導體棒在0.12s內(nèi)的加速度大小為：a=

v1-0

t1

=

9-0

12

=0.75m/s²．
（2）設金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為μ，當金屬棒的速度為v時，安培力大小為F，則有：
F=BIL，I=

BLv

R

得：F=

B2L2v

R

A點：由牛頓第二定律得：
F₁-μmg-

B2L2v1

R

=ma₁
又P_額=F₁v₁．
C點：棒達到最大速度：F₂-μmg-

B2L2vm

R

=0
P_額=F₂v_m．
聯(lián)立解得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）12s時，棒的速度為9m/s，根據(jù)動量定理，則有：（F-f-F_安）t=mv-0；
而F_安=BIL
感應電動勢，E=BLv
感應電流，I=

E

R

因此安培力綜合表達式，F(xiàn)_安=

B2L2v

R

，由于速度均勻增大，則取平均值代入上式，
則有：I=Ft=mv+ft+

.

F

_安t=0.1×9+（0.2×0.1×10+

0．52×0．22× 9 2

0.4

）×12=4.65N?s；
0-12s內(nèi)導體棒發(fā)生的位移為：s₁=

1

2

×9×12m=54m，
此過程中，根據(jù)動能定理，則有：W_F-W_f-W_安=

1

2

mv2-0
而Q=-W_安
所以，W_F=μmg?s+Q+

1

2

mv2=10.8+12.5+4.05J=27.35J；
答：（1）求導體棒在0-12s內(nèi)的加速度大小是0.75m/s²；
（2）導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)是0.2，電阻R的阻值是0.4Ω；
（3）則此過程中牽引力的沖量為4.65N?s；牽引力做的功為27.35J．

點評：本題與汽車勻加速起動類似，關鍵會推導安培力的表達式F=

B2L2v

R

，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結合進行求解，并掌握動量定理與動能定理的應用，注意動量的矢量性，與功的正負值．