Question

某興趣小組舉行遙控賽車比賽，比賽路徑如圖所示．可視為質點的賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L=10m后，由B點進入半徑R=0.4m的光滑豎直半圓軌道，并通過軌道的最高點C做平拋運動，落地后才算完成比賽．B是半圓軌道的最低點，水平直線軌道和半圓軌道相切于B點．已知賽車質量m=0.5Kg，通電后電動機以額定功率P=3W工作，賽車在水平軌道上受到的阻力恒為f=0.4N，之后在運動中受到的軌道阻力均可不計，g取10m/s²．試求：
（1）賽車能通過C點完成比賽，其落地點離B點的最小距離
（2）要使賽車完成比賽，電動機工作的最短時間．
（3）若賽車過B點速度v_B=8.0m/s，R為多少時賽車能完成比賽，且落地點離B點的最大距離．

Answer 1

分析：（1）小車做圓周運動，在最高點重力提供向心力時速度最小，由牛頓第二定律可以求出最小速度，離開C后做平拋運動，由平拋運動知識可以求出小車的水平位移．
（2）從A到C應用動能定理可以求出電動機的工作時間．
（3）由B到C由機械能守恒定律或動能定理求出到C的速度，離開C后小車做平拋運動，由平拋運動知識求出小車水平位移的表達式，然后求出最大水平位移．

解答：解：（1）賽車以最小速度通過最高點C，其落地點離B點的距離最小，在最高點C由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 C

R

，解得：v_C=

gR

=2m/s，離開C后小車做平拋運動，
在水平方向：x=v_Ct，在豎直方向：2R=

1

2

gt²，解得：x=0.8m；
（2）設電動機工作的最短時間為t，賽車從A到C過程，由動能定理得：
Pt-fL-2mgR=

1

2

m

v

2 c

-0
解得：t=3s；
（3）設軌道半徑為R，B到C過程賽車機械能守恒得：

1

2

m

v

2 B

=mg2R+

1

2

m

v

2 c

vc=

v 2 B -4Rg

，
賽車離開C點后做平拋運動，設水平位移為x，
在水平方向：x=v_Ct，在豎直方向：2R=

1

2

gt²，
解得：x=

v 2 B -4Rg

4R g

=

( v 2 B g -4R)4R

，
當

v 2 B

g

-4R=4R時，即R=0.80m時，最大水平位移為x_m=3.2m；
答：（1）賽車能通過C點完成比賽，其落地點離B點的最小距離為0.8m；
（2）要使賽車完成比賽，電動機工作的最短時間為3s．
（3）若賽車過B點速度v_B=8.0m/s，R為0.8m時賽車能完成比賽，且落地點離B點的最大距離為3.2m．

點評：分析清楚小車的運動過程，應用牛頓第二定律、動能定理、平拋運動知識即可正確解題．