Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程；
（2）最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

（1）因?yàn)槟Σ潦冀K對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)整體過(guò)程由動(dòng)能定理得
mgR?cosθ-μmgcosθ?x=0
所以總路程為x=

R

μ

．
（2）對(duì)B→E過(guò)程，由動(dòng)能定理得
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_E^{2-------------------}①
F_N-mg=m

V 2E

R

------------------②
由①②得對(duì)軌道壓力：F_N=（3-2cosθ）mg．
（3）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，則由向心力公式得
mg=m

V 2D

R

------------------③
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ?L′-mgR（1+cosθ）=

1

2

mv_D^{2-----------------------}④
由③④得最少距離L′=

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

?R．
故答案為：（1）在AB軌道上通過(guò)的總路程為x=

R

μ

．
（2）對(duì)圓弧軌道的壓力為（3-2cosθ）mg
（3）釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少為

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

?R．