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 一些數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用

  李光斗   趙國(guó)瑞

    在直線(xiàn)，射線(xiàn)，線(xiàn)段這一部分內(nèi)容中，滲透了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，下面舉例說(shuō)明。

一. 數(shù)形結(jié)合思想

    例1. 同學(xué)們?nèi)ス�路旁植�?shù)，每隔3m植一棵樹(shù)，問(wèn)在21m長(zhǎng)的公路旁最多可植幾棵樹(shù)？你可能會(huì)不假思索地在回答，三七二十一，可植樹(shù)7棵，那就錯(cuò)了，結(jié)合圖形觀察后就知道了。

    解：從圖1看，顯然可植8棵。

圖1

    說(shuō)明：對(duì)于這類(lèi)題目要注意考慮線(xiàn)段的端點(diǎn)，否定容易出錯(cuò)。

二. 方程思想

    例2. 點(diǎn)D、E在線(xiàn)段AB上，且都在AB中點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)D分AB為2：5兩部分，點(diǎn)E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，則AB的長(zhǎng)為（    ）。

圖2

    解：由題意，得如圖2所示，設(shè)AB=x，則，由，得，解得，即。

三. 整體思想

    例3. 已知：如圖3所示，C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC、CB的中點(diǎn)，若，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)。

圖3

    解：∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)

    說(shuō)明：解答本題的關(guān)鍵是逆用分配律得出待求線(xiàn)段和已知線(xiàn)段這個(gè)整體的關(guān)系。

四. 分類(lèi)討論思想

    例4. 已知線(xiàn)段AB=8cm，在直線(xiàn)AB上畫(huà)線(xiàn)段BC使它等于3cm，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)。

圖4

    分析：由于點(diǎn)C可能在線(xiàn)段AB上，也可能在線(xiàn)段AB外，因此需要分類(lèi)討論。

    解：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖4所示，。

    當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB外時(shí)，如圖5所示，。

圖5

    因此線(xiàn)段AC長(zhǎng)為5cm或11cm。

五. 歸納猜想思想

    例5. （2001年江蘇無(wú)錫中考題）

    根據(jù)題意，完成下列填空：如圖6所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，它們有一個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫(huà)第3條直線(xiàn)，那么這3條直線(xiàn)最多可有（    ）個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫(huà)第4條直線(xiàn)，那么這4條直線(xiàn)最多可有（    ）個(gè)交點(diǎn)；由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線(xiàn)最多可有（    ）個(gè)交點(diǎn)。n（n為大于1的整數(shù)）條直線(xiàn)最多可有（    ）個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）。

    解：（1）畫(huà)圖觀察

圖6

    （2）列表歸納

    （3）猜想：

   ，……

    于是，可猜想n條直線(xiàn)最多可有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

    于是，當(dāng)時(shí)，個(gè)交點(diǎn)。