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 對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積

張現(xiàn)立

    對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對(duì)角線長的積的一半。下面我們證明這個(gè)結(jié)論。

    已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線于E，如圖1。

    求證：

圖1

    證明：在四邊形ABCD中，于E

    所以

    對(duì)于對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積求解問題，這是一個(gè)十分方便的公式。

  例1. 菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，的周長為，求菱形ABCD的面積。（如圖2）

圖2

    解：在菱形ABCD中，

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image018.gif" >，所以

    設(shè)，則

    所以

    解得

    所以

    所以

    所以

  例2. 等腰梯形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。

    解：設(shè)梯形ABCD的腰為AB、CD，則，，BC＝CB（如圖3）

圖3

    所以

    所以

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image002.gif" >于O，所以在中，

    過點(diǎn)D作于E，則為等腰直角三角形，故

    所以

  例3. 如圖4，已知：在中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且，求的面積。

圖4

    解：連結(jié)DE，則四邊形BCDE的面積為

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image067.gif" >

    所以

  例4. 如圖5，已知：在邊長為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點(diǎn)E，G在BC上，F(xiàn)在AD上，，求四邊形AGEF的面積。

圖5

    解：在中，

    所以

    過G點(diǎn)作，垂足為H

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image071.gif" >，所以

    從而

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image088.gif" >

    所以

    所以

    故

  例5. 已知梯形ABCD中，，如圖6，求。

圖6

    解：過D作DE//AC交BC的延長線于點(diǎn)E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。

    所以

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積%20專題指導(dǎo).files/image103.gif" >

    所以

    所以

    又因?yàn)镈E//AC，所以

    所以