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1．已知集合，則為 （    ）

A．             B．                C．         D．

2．若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為        （    ）

       A．－2                   B．4                       C．－6                   D．6

3．函數(shù)的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是    （    ）

  A、       B、         C、        D、 

4．已知向量，(1, )，則的最小值是             （    ）

A．1        B．              C．          D．2

5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則       （    ）

     A．      B．     C．     D．

_{6．下面給出四個(gè)命題：}

① 直線與平面內(nèi)兩直線都垂直，則；

② 經(jīng)過直線有且僅有一個(gè)平面垂直于直線；

③ 過平面外兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與垂直；

④ 直線同時(shí)垂直于平面、，則∥；其中正確的命題個(gè)數(shù)為        （    ）

A、0                         B、1                   C、2                         D、3

7．一次文藝演出中，需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈共15只，以不同的點(diǎn)亮方式增加舞臺(tái)

效果，設(shè)計(jì)者按照每次點(diǎn)亮?xí)r，恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，兩端的燈必須點(diǎn)

亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，那么不同點(diǎn)亮方式的種數(shù)是                                                （    ）

       A．28                      B．84                       C．180                    D．360

8．直線與圓的位置關(guān)系是                 （    ）

    A．相交          B．相離       C．相切     D．與、的取值有關(guān)

9．已知x，y滿足，的最大值為，最小值為，

則a的范圍為                                                       （    ）

       A　        B　       C　       D　

10．若, 則與的大小關(guān)系是          (    )

A．  B．  C．  D．不能確定

11．橢圓的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)依次

為，則的最大值為                               （    ）

A．           B．         C．        D．不能確定

12．如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，

，且，，，，，在平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

，使得，則的面積的最大值是                 （    ）

A．     B．    C．          D．

第Ⅱ卷 （非選擇題 滿分90分）

把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．

13．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為      ；

14．在四面體ABCD中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為

、、5，則此四面體ABCD的外接球的半徑R為      ；

15．已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的

一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是           ；

16．對(duì)于函數(shù)（為常數(shù)，且），給出下列命題：

① 函數(shù)的最小值為-1；

② 函數(shù)在每一點(diǎn)處都連續(xù)；

③ 函數(shù)在R上存在反函數(shù)；

④ 函數(shù)在處可導(dǎo)；

⑤ 對(duì)任意的實(shí)數(shù)且，恒有；

其中正確命題的序號(hào)是               ；

17．（本題滿分10分）

在中，角的對(duì)邊分別為，，

，且；

（1）求角的大小；

（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求角的大��；

18. （本題滿分12分）

一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個(gè)球, 從這只袋中每次取出1個(gè)球,

 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為；

（1）求時(shí)的概率；（2）求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；

19. （本小題滿分12分）

    如圖：直平行六面體，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2a的菱形，∠BAD＝60°，E為AB中點(diǎn)，二面角為60°；

    （1）求證：平面⊥平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）求點(diǎn)到平面的距離；

20. （本題滿分12分）

已知函數(shù)；

（1）；

（2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

21. （本題滿分12分）

已知數(shù)列中，，且；

（1）求證：；

（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的解析式；

（3）求證：不等式對(duì)于恒成立；（（3）問只理科生做，文科生不做）

22．（本題滿分12分）

在△ABC中，，B是橢圓的上頂點(diǎn)，l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)．

（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

（2）過定點(diǎn)F(0，)作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于M、N和R、Q；

求四邊形MRNQ的面積的最小值；

哈爾濱市第六中學(xué)2009屆高三第一次模擬考試

理科數(shù)學(xué)試卷答案

17．（本題滿分10分）

在中，角的對(duì)邊分別為，，

，且；

⑴求角的大小；

⑵當(dāng)取最大值時(shí)，求角的大小；

解：⑴由，得，從而

由正弦定理得

，，            （4分）

⑵

由得，時(shí)，

即時(shí)，取最大值                                    （10分）

18. （本題滿分12分）

一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個(gè)球, 從這只袋中每次取出1個(gè)球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為.

（1）求時(shí) 的概率；（２）求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.   

18. 解：（解法一 ）（１）表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率

②三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率

∴．   ……………………………………4分

（２）在時(shí), 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

的概率分布為：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．…………………………………………12分

（解法二）（１）表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3．

．   ……………………………………4分

（２）在時(shí), 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

的概率分布為：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．………12分

19．（本大題滿分12分）

如圖：直平行六面體，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2a的菱形，∠BAD＝60°，E為AB中點(diǎn)，二面角為60°；

    （1）求證：平面⊥平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）求點(diǎn)到平面的距離；

（I）證明：連結(jié)BD，在菱形ABCD中：∠BAD＝60°

    ∴△ABD為正三角形  ∵E為AB中點(diǎn)，∴ED⊥AB

    在直六面體中：平面⊥平面ABCD且交于AB

    ∵面ABCD    ∴ED⊥面    ∴平面⊥平面………3分

    （II）解：（解法一）由（I）知：ED⊥面  ∵面，∴

  直平行六面體中：⊥面ABCD 由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED

    ∴∠A₁EA為二面角的平面角    ∴

    取中點(diǎn)F，連EF、，則：

    在直平行六面體中：   

    ∴E、F、C₁、D四點(diǎn)共面    ∵ED⊥面ABB₁A₁且EF面

    ∴∠A₁EF為二面角的平面角………………5分

    在中：

    在中：

    在中：………………7分

    ∴在中，

    ∴二面角的余弦值為………………8分

    （解法二）由已知得：二面角為

    可證得：∠C₁DC為二面角的平面角    求得：

    故二面角的大小為

    所以，二面角的余弦值為          ………………8分

    （III）過F作FG⊥A₁E交于G點(diǎn)

    ∵平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁且平面A₁ED平面

    ∴FG⊥面，即：FG是點(diǎn)F到平面A₁ED的距離；

    在中：

    ；

且E、D面   ∴C₁到平面的距離為：……12分

20． (本大題滿分12分)
已知函數(shù)．

（1）。

（2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（3）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

解：（Ⅰ）        （1分）

         令得或（舍去）

        列表得： 為函數(shù)在上的極大值,無極小值；（4分）

（Ⅱ）由，可得或

     即或

由（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

∵恒成立，∴

∵恒成立，∴

∴的取值范圍為：或    （8分）

（Ⅲ）由

令 （或令求也可）

 則

    令得 或（舍去）

     當(dāng)時(shí)，，于是在上遞增

當(dāng)時(shí)，，于是在上遞減

而

∴即在恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于

由此得：            （12分）

21. （本題滿分12分）

已知數(shù)列中，，且

（1）求證：；
（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的解析式；

（3）求證：不等式對(duì)于恒成立。

（1），

又因?yàn)?sub>，則，即，又，，…………………………………….4分

（2），…….5分

因?yàn)?sub>，所以當(dāng)時(shí)，….6分

當(dāng)時(shí)，，①

，②

①-②：，

.綜上所述，……………8分

（3），

又，易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立；

假設(shè)，不等式成立，即，兩邊乘以3得

又因?yàn)?sub>

所以

即時(shí)不等式成立.故不等式恒成立……………………………………..12分

22．（本題滿分12分）

在△ABC中，，B是橢圓的上頂點(diǎn)，l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)．

  (1) 求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

  (2) 過定點(diǎn)F(0，)作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于M、N和R、Q．

求四邊形MRNQ的面積的最小值．

 (1)解：（解法一）由橢圓方程及雙曲線方程可得點(diǎn)B(0，2)，

直線l的方程是． ，且AC在直線l上運(yùn)動(dòng).

可設(shè)，

則AC的垂直平分線方程為 ①

AB的垂直平分線方程為 ②    

∵P是△ABC的外接圓圓心，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足方程①和②.

由①和②聯(lián)立消去m得：，即.

故圓心P的軌跡E的方程為            6分

（解法二）利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式（勾股定理）求軌跡方程也可；

(2)解：如圖，直線l₁和l₂的斜率存在且不為零，設(shè)l₁的方程為

∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的方程為由得

，∴直線l₁與軌跡E交于兩點(diǎn).

設(shè)M(x₁，y₁)， N(x₂，y₂)，則

∴
同理可得：                  9分

∴四邊形MRNQ的面積

≥

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．12分