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                                    試卷類型：A
          2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)
                       
數  學 (理 科)       　　　　2009.3  
          本試卷共4頁，21題，滿分150分。考試用時120分鐘。
          注意事項： 
          1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學校、以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B將試卷類型(A)填涂在答題卡相應的位置上。
          2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。
          3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
          4. 作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做的題號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
          5．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。
           
          參考公式：
          錐體的體積V=Sh，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.
          如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 
          如果事件A、B相互獨立，那么P(AB)=P(A)?P(B).     
          一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的
          1.函數f(x)=sin2x的最小正周期為
          A.π              B.
2π           C. 2πw.w.w.k.s.5 u.c.o.m            D. 4π
          

          試題詳情
          

          2.已知z=i(1+i)(i為虛數單位)，則復數z在復平面內所對應的點位于
          A.第一象限       B. 第二象限     C. 第三象限      D. 第四象限
           
          

          試題詳情
          

          3.某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進
          

          試題詳情
          

          行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時至10時的銷售額為2.5
          

          試題詳情
          

          萬元 ，則11時至12時的銷售額為     
          A. 6萬元            B.
8萬元       
          C. 10萬元 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m           D. 12萬元
           
          

          試題詳情
          

          4.已知A(－1，a)、B(a，8)兩點的直線
          與直線2x－y+1=0平行，則a的值為
          A.－10              B. 17         
  
          C. 5                 D.2
           
           
          

          試題詳情
          

          若輸出的S的值等于16，那么在程序框
          圖中的判斷框內應填寫的條件是w.w.w.k.s.5
u.c.o.m
          A.i>5      B.i> 6    C.i> 7     D.i> 8
          

          試題詳情
          

          6.已知p：關于x的不等式x2+2ax－a>0的
          解集是R，q：－1<a<0，則p是q 的那么
          A.充分非必要條件 B. 必要非充分條件       
          C. 充要條件      D. 既非充分又非必要條件
          

          試題詳情
          

          7.在(1－x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，
          若2a2+an-5=0， 則自然數n 的值是
          A.7        B.8      C.9      D.10
          

          試題詳情
          

          8.在區(qū)間[0，1]上任意取兩個實數a，b，則函數
          在區(qū)間[－1，1]上有且僅有一個零點的概率為             

          

          試題詳情
          

          A.         B.        C.         D.                                                     
          每小題5分，滿分30分. 
          (一) 必做題 (9～12題)
          

          試題詳情
          

          二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，
          9.若log2(a+2)=2，則3a=      ．
          

          試題詳情
          

          10. 若 ，則實數a的值是_________.
          

          試題詳情
          

          11.一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)
          如圖3所示，則該幾何體的側面積為_______cm2.  
          

          試題詳情
          

          12.已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*
          

          試題詳情
          

          都有，且1<Sk<9，則a1的值
          為______，k的的值為________.
           
           
          (二)選做題 (13～15題，考生只能從中選做兩題)
          

          試題詳情
          

          13. (坐標系與參數方程選做題) 在極坐標系中，直線ρsin(θ+)=2被圓
          ρ=4截得的弦長為         
．             
                                                                         
          

          試題詳情
          

          14. (幾何證明選講選做題) 已知PA是圓O(O為圓心)的切線，切點為A，
          

          試題詳情
          

          PO交圓O于B，C兩點，AC =，∠PAB=300，則線段PB的長為        .
          

          試題詳情
          

          15. (不等式選講選做題) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，
          則a的取值范圍為_____________.
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
          16.(本小題滿分12分)
          

          試題詳情
          

          已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．
          (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值．
           
          

          試題詳情
          

          17.(本小題滿分12分)
          甲、乙兩名同學參加一項射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，
          擊中目標得2分，未擊中目標得0分.若甲、乙兩名同學射擊的命中率分別
          

          試題詳情
          

          為和p ，且甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為2的概率為，假設
          甲、乙兩人射擊互不影響.
          (1)求p的值；
          (2) 記甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為ξ，求ξ的分布列和數學期望.
           
          

          試題詳情
          

          18.(本小題滿分14分) 如圖4，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，
          AB⊥AC，D、E、F分別是棱的中點，連接DE，DF，EF.
          (1)求證: 平面DEF⊥平面ABC；
          

          試題詳情
          

          (2)若PA=BC=2，當三棱錐P-ABC的體積的最大值時，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19. (本小題滿分12分)
          某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個A 型零件和1個B 型零件配套組成. 每個工人每小時能加工5個A 型零件或者3個B 型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數不再進行調整)，每組加工同一中型號的零件.設加工A 型零件的工人人數為x名(x∈N*)
          (1)設完成A 型零件加工所需時間為f(x)小時，寫出f(x)的解析式；
          (2)為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取何值？
           
           
           
           
          20 (本小題滿分14分)
          已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓M：(x－2)2+x2=64相內切
          (1)求動圓C的圓心的軌跡方程；
          

          試題詳情
          

          (2)設直線l: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線交于不同兩點E，F，問是否存在直線l，使得向量
          

          試題詳情
          

          ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21. (本小題滿分14分)
          

          試題詳情
          

          已知數列{an}的相鄰兩項an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0
(n∈N*)的兩根，且a1=1.
          (1)求數列{ an}和{bn}的通項公式；
          (2)設Sn是數列{an}的前n項的和，問是否存在常數λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.
                
           
           
           
          2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)
          

          試題詳情
          

          一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.共8小題，每小題5分，滿分40分．
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          答案
          A
          B
          C
          D
          A
          C
          B
          D
          二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算. 本大題共7小題，每小
          題5分，滿分30分．其中13～15題為選做題，考生只能選做兩題. 第12題的第一個空2分，第二個空3分．
          9.9  ；10. ；11. 80； 12.－1，4；  13.；  14.1.  15. 
          三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
          16.(本小題滿分12分)
          (本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力)
          已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．
          (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值．
          解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，
          ∴sinB=.                             
……2分
          由正弦定理得，                          ……4分
           .                          
……6分
          (2) ∵S△ABC=acsinB=4，                            
……8分
           ∴，  ∴c=5.                     
……10分
          由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，
          ∴.……14分
          17.(本小題滿分12分)
          甲、乙兩名同學參加一項射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，
          擊中目標得2分，未擊中目標得0分.若甲、乙兩名同學射擊的命中率分別
          為和p ，且甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為2的概率為，假設
          甲、乙兩人射擊互不影響.
          (1)求p的值；
          (2) 記甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為ξ，求ξ的分布列和數學期望.
          (本題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識，考查運算求解能力)
          解：(1)設“甲射擊一次，擊中目標”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標”為事件B，“甲射擊一次，未擊中目標”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標”為事件，則
          ……1分
          依題意得，                  
         ……3分
          解得，故p的值為.                              
……5分
          (2)ξ的取值分別為0，2，4.                              
……6分
          ，            
……8分
          ，                                      

           ，          
……10分
          ∴ξ的分布列為
          ξ
          0
          2
          4
          P
          ……12分
          ∴Eξ=                    
……14分
          18.(本小題滿分14分) 如圖4，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，
          AB⊥AC，D、E、F分別是棱PA、PB、PC的中點，連接DE，DF，EF.
          (1)求證: 平面DEF∥平面ABC；
          (2)若PA=BC=2，當三棱錐P-ABC的體積的最大值時，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..
          (本題主要考查空間中的線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
                               
證明:∵D、E分別是棱PA、PB的中點，
          ∴DE是△PAB的中位線，∴DE∥AB，
          ∵DE平面PAB，ABÌ平面PAB，
                                    
∴DE∥平面PAB，          
……2分
           ∵DE∩DF=D，DEÌ平面DEF，
             DFÌ平面DEF，
                                    
∴平面DEF∥平面ABC.       ……4分
                                  
(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值，給出如下兩種解法：
          解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2，
          ∴AB2 +AC2
=BC2=4，
          ∴三棱錐P-ABC的體積為
          ……6分
          .
          當且僅當AB=AC時等號成立，V取得最大值，其值為，此時AB=AC=.
          解法2：設AB=x，在△ABC中，(0<x<2)，
          ∴三棱錐P-ABC的體積為
                                                    
……6分
                      

          ，
           ∵0<x<2，0<x2<4，∴當x2=2，即時，V取得最大值，其值為，此時AB=AC=.           
                         ……8分
          求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，給出如下兩種解法：
          解法1：作DG⊥EF，垂足為G，連接AG，
          ∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，
          ∵EFÌ平面DEF，∴ P A⊥EF.
          ∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AGÌ平面PAG，∴EF⊥AG，
          ∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角.                  
……10分
                                  
在Rt△EDF中，DE=DF=，
                                  
，∴.
                                   
在Rt△ADG中，
          ，
          ∴.
          ∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為.               
……14分
          解法2：分別以AB、AC、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系A-xyz，則A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(，0，1)，
          F(0，，1). ∴.       ……9分
          設為平面AEF的法向量，
          則，
          即，令，則，z=－1,
          ∴為平面AEF的一個法向量.             
……11分
          ∵平面DEF的一個法向量為，
          ∴，
                                                                
……13分
          而與所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.   
          ∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為.                
……14分
          19. (本小題滿分12分)
          某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個A 型零件和1個B 型零件配套組成. 每個工人每小時能加工5個A 型零件或者3個B 型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數不再進行調整)，每組加工同一中型號的零件.設加工A 型零件的工人人數為x名(x∈N*)
          (1)設完成A 型零件加工所需時間為f(x)小時，寫出f(x)的解析式；
          (2)為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取何值？
          (本題主要考查函數最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數學思想方法，以及運算求解和應用意識)
          解：(1) 生產150件產品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間(x∈N*，且1≤x≤49).             
……2分    
          (2) 生產150件產品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間(x∈N*，且1≤x≤49).           
……4分設完成全部生產任務所需時間h(x)小時，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，
          令f(x)≥g(x)，則，解得，
          所以，當1≤x≤32時，f(x)>g(x)；當33≤x≤492時，f(x)<g(x).
          故                
……6分
          當1≤x≤32時，，故h(x)在[1，32]上單調遞減，
          則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時)；       ……8分
          當33≤x≤49時，，故h(x)在[33，49]上單調遞增，
          則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時)； ……10分
          ∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.
          答：為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取32.        ……12分
          20 (本小題滿分14分)
          已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓M：(x－2)2+x2=64相內切
          (1)求動圓C的圓心的軌跡方程；
          (2)設直線l: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線交于不同兩點E，F，問是否存在直線l，使得向量
          ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
          (本題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數學探究，考查數形結合、類與整的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)
          解：（1）圓M：(x－2)2+x2=64，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R=8.
          ∵|AM|=4<R，∴點A(－2，0)在圓M內，
          設動圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
          即|CM+|CA|=8>|AM|，                                   
……3分
          ∴圓心CD的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，
          設其方程為(a>b>0)，則a=4，c=2，
          ∴b2=a2－c2=12，∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為.
          ……5分
          (2)由消去y 化簡整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
          設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1+x2=.
          △1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0.        ①          
……7分
          由消去y 化簡整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
          設E(x3，y3)，F(x4，y4)，則x3+x4=.
          △2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0.        ②          
……9分
          ∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
          ∴，∴2km=0或，
          解得k=0或m=0，                            
      ……11分
          當k=0時，由①、②得，
          ∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3；
          當m=0時，由①、②得，
          ∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
          ∴滿足條件的直線共有9條.                         
……14分
          21. (本小題滿分14分)
          已知數列{an}的相鄰兩項an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，且a1=1.
          (1)求證：數列{ an－×2n}是等比數列；
          (2)設Sn是數列{an}的前n項的和，問是否存在常數λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.      
          (本題主要考查數列的通項公式、數列前n項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)
          (1)證法1：∵an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
          ∴                                       
……2分
          由an+an+1=2n，得，故數列
          是首項為，公比為－1的等比數列.                
……4分
          證法2：∵an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
          ∴                                       
……2分
          ∵，
          故數列是首項為，公比為－1的等比數列.             

             ……4分
          (2)解：由(1)得，即，
          ∴
                                      
……6分
          ∴Sn=a1+
a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
          ，                       
……8分
          要使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，
          即對任意n∈N*都成立. 
          ①當n為正奇數時，由(*)式得，
          即，
          ∵2n+1－1>0，∴對任意正奇數n都成立.
          當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m         
 ……10分
          ①當n為正奇數時，由(*)式得，
          即，
          ∵2n+1－1>0，∴對任意正奇數n都成立.
          當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.         
 ……10分
          ②當n為正偶數時，由(*)式得，
          即，
          ∵2n－1>0，∴對任意正偶數n都成立.
          當且僅當n=2時，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分
          綜上所述，存在常數λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                          
 ……14分
          
				
          
	
          
		
          


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