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練習冊

練習冊
試題

山東省諸城市

2009年高考模擬考試

數(shù)學試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.

2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標號.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．復數(shù)的虛部是（）

A． B．― C．― D．―i

2．下列命題中真命題的個數(shù)是（）

①

②若是假命題，則p，q都是假命題；

③命題“”的否定是“”

A．0 B．1 C．2 D．3

3．曲線在點（0，1）處的切線方程是（）

A． B．

C． D．

4．已知m、n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列四個命題中，錯誤的命題個數(shù)是（）

①；

②若；

③；

④

A．1 B．2 C．3 D．4

A． B．

C． D．―

6．一個社會調查機構就某地居民的月收入調查

率分布直方圖.為了分析居民的收入與年齡、

學歷、職業(yè)等方面的關系，按月收入分層抽

樣方法抽樣，若從月收入[3000，3500（元）

段中抽取了30人，則在為20000人中共抽取

的人數(shù)為（）

A．200 B．100

C．20000 D．40

7．執(zhí)行右面的程序框圖，輸出的S是（）

A．―378 B．378

C．―418 D．418

8．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的

數(shù)據(jù)，可得這個幾何體的表面積為（）

A． B．

C． D．12

9．對一切實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A． B． C． D．

10．雙曲線的左焦點為F₁，左、右頂點分別為A₁、A₂、P是雙曲線右支上的一點，則分別以PF₁和A₁A₂的直徑的兩圓的位置關系是（）

A．相交 B．相離 C．相切 D．內含

11．已知函數(shù)的反函數(shù)為，等比數(shù)列的公比為2，若

（）

A．2¹⁰⁰⁴^×2008B．2¹⁰⁰⁴^×2009C．2¹⁰⁰⁵^×2008D．2¹⁰⁰⁴^×2009

12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當成立，則不等式的解集是（）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

注意事項：

1．第Ⅱ卷包括填空題和解答題共兩個大題；

2．第Ⅱ卷所有題目的答案考生需用黑色簽字筆答在“數(shù)學”答題卡指定的位置上.

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．拋物線的準線方程是 .

14．若

.

15．在△ABC中，D為邊BC上的中點，AB=2，AC=1，∠BAD=30°，則AD= .

16．給出下列結論：

①函數(shù)在區(qū)間（）上是增函數(shù)；

②不等式；

③是兩直線平行的充分不必要條件；

20090515

其中正確結論的序號是（把所有正確結論的序號都填上）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（1）設方程內有兩個零點x₁,x₂，求x₁+x₂的值；

（2）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位使所得函數(shù)的圖象關于點（0，2）對稱，求m的最小值.

18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列，a₇是b₃和b₇的等比中項.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列{}的前n項和T_n.

19．（本小題滿分12分）

三棱錐P―ABC中，△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分別為AB、PB的中點.

（1）求證：AC⊥PD；

（2）求二面角E―AC―B的正切值；

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20．（本小題滿分12分）

某工廠生產一種精密儀器，產品是否合格需先后經兩道相互獨立的工序檢查，且當?shù)谝坏拦ば驒z查合格后才能進入第二道工序，經長期監(jiān)測發(fā)現(xiàn)，該儀器第一道工序檢查合格的概率為，第二道工序檢查合格的概率為.已知該廠每月生為3臺這種儀器.

（1）求每生產一臺合格儀器的概率；

（2）用表示每月生產合格儀器的臺數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（3）若生產一臺儀器合格可盈利10萬元，不合格要虧損3萬元，求該廠每月的期望盈利額.

21．（本小題滿分12分）

已知圓，坐標原點為O.圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量.

（1）求動點Q的軌跡E的方程；

（2）當時，設動點Q關于x軸的對稱點為點P，直線PD交軌跡E于點F（異于P點），證明：直線QF與x軸交于定點，并求定點坐標.

22．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)處取得極值.

（1）求實數(shù)a的值，并判斷上的單調性；

（2）若數(shù)列滿足；

（3）在（2）的條件下，記

求證：

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20090515

一、選擇題

CBACD ADBAC DB

二、填空題

13. 14.20 15. 16.①③④

三、解答題

17．解：（1）由題設

……………………2分

…………………………3分

由

得…………………………5分

…………………………6分

（2）設圖象向左平移m個單位，得到函數(shù)的圖象.

則，…………………………8分

對稱，

…………………………10分

…………………………12分

18．（本小題滿分12分）

解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

由題設知

則

……………………3分

又

又

，

…………………………6分

（2）…………………………7分

①

②……………………9分

①―②得

…………………………12分

19．（本小題滿分12分）

證明：（1）取AC中點O，

∴PO⊥AC，

又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，

∴PO⊥面ABC，……………………2分

連結OD，則OD//BC，

∴DO⊥AC，

由三垂線定理知AC⊥PD.……………………4分

（2）連接OB，過E作EF⊥OB于F，

又∵面POB⊥面ABC，

∴EF⊥面ABC，

過F作FG⊥AC，連接EG，

由三垂線定理知EG⊥AC，

∴∠EGF即為二面角E―AC―B的平面角…………6分

在

在

∴……………………9分

（3）由題意知

又

即.…………………………12分

20．（本小題滿分12分）

解：（1）設“生產一臺儀器合格”為事件A，則

……………………2分

（2）每月生產合格儀器的數(shù)量可為3，2，1，0，則

所以的分布列為：

3

2

1

0

P

∴的數(shù)學期望

…………9分

（3）該廠每生產一件儀器合格率為，

∴每臺期望盈利為（萬元）

∴該廠每月期望盈利額為萬元……………………12分

21．（本小題滿分12分）

解：（1）設

，

，

…………………………3分

，這就是軌跡E的方程.……………………4分

（2）當時，軌跡為橢圓，方程為①…………5分

設直線PD的方程為

代入①，并整理，得

②

由題意，必有，故方程②有兩上不等實根.

設點

由②知，………………7分

直線QF的方程為

當時，令得，

將代入

整理得，

再將代入，

計算，得x=1，即直線QF過定點（1，0）

當k=0時，（1，0）點……………………12分

22．（本小題滿分14分）

解：（1）

由題知，即a-1=0，∴a=1.……………………………2分

則

∵x≥0，∴≥0，≥0，

又∵＞0，∴x≥0時，≥0，

∴在上是增函數(shù).……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∴

下面用數(shù)學歸納法證明＞0.

①當n=1時，=1＞0成立；

②假設當時，＞0,

∵在上是增函數(shù)，

∴＞

∴＞0成立，

綜上當時，＞0.……………………………………6分

又

∵＞0,1+＞1,∴＞0,

∵＞0,∴＜，…………………………………8分

而=1,∴≤1，綜上，0＜≤1.……………………………9分

（3）∵0＜＜≤1，

∴＜,

∴＜,

∴＜,

∴＞＞0,………………………………………11分

∴=?…＜?……

=ⁿ.……………………………12分

∴S_n＝++…+

＜+()²+…+()ⁿ

＝

＜==1.

∴S_n＜1.………………………………………………………………14分

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