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例1（05安徽省六安市）已知關(guān)的一元二次方程 有實(shí)數(shù)根．

（1）求的取值范圍

（2）若兩實(shí)數(shù)根分別為和，且求的值．

分析與解答  本題目主要綜合考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用以及代數(shù)式的恒等變形等．

例2（05北京市）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和，并且拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（2，0）的兩旁．

（1）       求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）       當(dāng)時(shí)，求的值．

分析與解答  本例以一元二次方程為背影，綜合考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、分式方程的解法以及二次函數(shù)的有性質(zhì)等．

例3（05重慶市） 如圖2－4－18，，O是AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．若AD＝，且AB、AE的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求⊙O的半徑．（2）求CD的長(zhǎng)．

分析與解答  本題是一道方程與幾何相結(jié)合的造型題，綜合考查了切割線(xiàn)定理、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解法、勾股定理知識(shí)．

例4．（2007四川綿陽(yáng)）已知x₁，x₂ 是關(guān)于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求x₁，x₂ 的值；

（2）若x₁，x₂ 是某直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)，問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿(mǎn)足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

分析與解答  本題考察一元二次方程知識(shí)．

例5（07茂名市）已知函數(shù)的圖象與軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，且，求c及，的值．

分析與解答  本題考察一元二次方程韋達(dá)定理．

例6（07天津市） 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，．

（1）試證明；

（2）證明；

（3）對(duì)于二次函數(shù)，若自變量取值為，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，則當(dāng)時(shí)，試比較與的大�。�

分析與解答  本題考察一元二次方程知識(shí)．

例7（05吉林省） 如圖2－4－21，二次函數(shù)的圖象與軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)C（0，5）、D（1，8）在拋物線(xiàn)上，M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）求△MCB的面積．

分析與解答  第（1）問(wèn)，已知拋物線(xiàn)上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出其解析式．第（2）問(wèn)，△MCB不是一個(gè)特殊三角形，我們可利用面積分割的方法轉(zhuǎn)化成特殊的面積求解．

說(shuō)明：以面積為紐帶，以函數(shù)圖象為背景，結(jié)合常見(jiàn)的平面幾何圖形而產(chǎn)生的函數(shù)圖象與圖形面積相結(jié)合型綜合題是中考命題的熱點(diǎn)．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)與恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，必要時(shí)要會(huì)靈活將待求圖形的面積進(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化為特殊幾何圖形的面積求解．

例8（05湖南省婁底市）已知拋物線(xiàn)與軸交于、，與軸交于點(diǎn)C，且、滿(mǎn)足條件

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）能否找到直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，使軸恰好平分△CPQ的面積？求出、所滿(mǎn)足的條件．     

分析與解答   本題是一道方程與函數(shù)、幾何相結(jié)合的綜合題，這類(lèi)題主要是以函數(shù)為主線(xiàn)．解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息與方程的代信息相互轉(zhuǎn)化．例如：二次函數(shù)與軸有交點(diǎn)．可轉(zhuǎn)化為一元二次旗號(hào)有實(shí)數(shù)根，并且其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的解．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)就滿(mǎn)足該函數(shù)解析式等．

例9（05桂林市） 已知：如圖2－4－23，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）和A（－1，5）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）設(shè)拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．以O(shè)C為直徑作⊙M，如果過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P作⊙M的切線(xiàn)PD，切點(diǎn)為D，且與軸的正半軸交于點(diǎn)為E，連結(jié)MD．已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），求四邊形EOMD的面積．（用含的代數(shù)式表示）

（3）延長(zhǎng)DM交⊙M于點(diǎn)N，連結(jié)ON、OD，當(dāng)點(diǎn)P在（2）的條件下運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，能使得？請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

例10（07上海市）如圖9，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)，，其中．過(guò)點(diǎn)作軸垂線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸垂線(xiàn)，垂足為，連結(jié)，，．

（1）若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的函數(shù)解析式．

例11（07資陽(yáng)）如圖10，已知拋物線(xiàn)P：y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線(xiàn)段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在線(xiàn)段BC、AC上，拋物線(xiàn)P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：

x

…

－3

－2

1

2

…

y

…

－

－4

－

0

…

（1） 求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2） 若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；

（3） 當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM＝k?DF，若點(diǎn)M不在拋物線(xiàn)P上，求k的取值范圍．

若因?yàn)闀r(shí)間不夠等方面的原因，經(jīng)過(guò)探索、思考仍無(wú)法圓滿(mǎn)解答本題，請(qǐng)不要輕易放棄，試試將上述（2）、（3）小題換為下列問(wèn)題解答(已知條件及第（1）小題與上相同，完全正確解答只能得到5分)：

（2） 若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

例12（07北京市）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類(lèi)似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱(chēng)；

（2）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，

設(shè)相交于點(diǎn)，若，．

請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形

是等對(duì)邊四邊形；

（3）在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且．探究：滿(mǎn)足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論．

例13（07寧波市）四邊形一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱(chēng)這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖l，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的一點(diǎn)，PD＝PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

（1）如圖2，畫(huà)出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．

（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)．

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求證：點(diǎn)P是四邊形AB CD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明)．

例14(07南充市) 如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫(huà)出拋物線(xiàn)的大致圖象．
（2）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是過(guò)點(diǎn)C的⊙M的切線(xiàn)，點(diǎn)E是切點(diǎn)，求OE所在直線(xiàn)的解析式．

例15(07宿遷市) 如圖，圓在正方形的內(nèi)部沿著正方形的四條邊運(yùn)動(dòng)一周，并且始終保持與正方形的邊相切．

 （1）在圖中，把圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域用陰影表示出來(lái)；

（2）當(dāng)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)一半時(shí)，該圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域的面積是否最大？并說(shuō)明理由．

例16（05湖北省荊門(mén)市）已知關(guān)于的方程的兩根是一矩形兩鄰邊的長(zhǎng)．

（1）取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？

（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為時(shí)，求的值．

例17（04四川�。┮阎�關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根中有一個(gè)根為0，是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、之差的絕對(duì)值為1？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

例18（04黑龍江�。┮阎�方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．

（1）求有取值范圍．

（2）若方程組的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為和是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例19（04重慶市萬(wàn)州區(qū)）如圖2－4－19，以△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O與斜邊AC交于點(diǎn)D，E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE．

（1）DE與半圓O相切嗎？若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）若AD、AB的長(zhǎng)是方程的個(gè)根，求直角邊BC的長(zhǎng)．

例20（06浙江舟山）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連結(jié)BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線(xiàn)DA交y軸于點(diǎn)E．

（1）試問(wèn)△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論．

（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化，若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，以O(shè)C為直徑作圓，與直線(xiàn)DE分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)AC＝m，AF＝n，用含n的代數(shù)式表示m．

例21（06浙江金華）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB與軸，軸分別交于A(yíng)(3，0)，B(0，)兩點(diǎn)， ，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D．

（1）求直線(xiàn)AB的解析式；

（2）若S_梯形OBCD＝，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的

三角形與△OBA相似.若存在，請(qǐng)求出所有符合條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例22（06湖南常德）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

（1）若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線(xiàn)上．

（2）在（1）中的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上求一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最�。�

（3）設(shè)為（1）中的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

例23（06湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，，，把三角板固定不動(dòng)，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)，射線(xiàn)與線(xiàn)段相交于點(diǎn)．

（1）如圖9，當(dāng)射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證．此時(shí)，____________．

（2）將三角板由圖1所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中

，問(wèn)的值是否改變？說(shuō)明你的理由．

（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

例24（07安徽�。┌从覉D所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿(mǎn)足下列兩個(gè)要求：

（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；

（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大．

（1）若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p＝時(shí)，這種變換滿(mǎn)足上述兩個(gè)要求；

（2）若按關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－h(huán))²＋k　(a＞0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足上述要求的這種關(guān)系式．（不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明，但要寫(xiě)出關(guān)系式得出的主要過(guò)程）

例25（07郴州市）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線(xiàn)上），當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)停止移動(dòng)．平移中EF與BC交于點(diǎn)N，GH與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，EH與DC交于點(diǎn)P，F(xiàn)G與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q．設(shè)S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．

（1） S與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）設(shè)AE＝x，寫(xiě)出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？

（3）如圖11，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時(shí)，是等腰三角形．

例26（07德州市）已知：如圖14，在中，為邊上一點(diǎn)，，，．

（1）試說(shuō)明：和都是等腰三角形；

（2）若，求的值；

（3）請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對(duì)角線(xiàn)得到8個(gè)等腰三角形．（標(biāo)明各角的度數(shù)）

例27（07龍巖市）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．

（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線(xiàn)的解析式；

（3）探究：若點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例28（07年福建省寧德市）已知：矩形紙片中，厘米，厘米，點(diǎn)在上，且厘米，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．按如下操作：

步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，展開(kāi)紙片得折痕