2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)[必修+選修Ⅱ]
一．選擇題（每小題5分，共60分）
1．函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是：
A. B. C. D. 2
2．正方體ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是：
A.三角形 B. 四邊形 C. 五邊形 D. 六邊形
3．函數(shù)y= (x≤0)的反函數(shù)是：
A. y= (x≥?1) B. y= ? (x≥?1)
C. y= (x≥0) D. y= ? (x≥0)
4．已知函數(shù)y=tanωx在(－,)內(nèi)是減函數(shù)，則：
A. 0<ω≤1 B. －1≤ω<0 C. ω≥1 D. ω≤－1
5．設(shè)a、b、c、d∈R，若為實(shí)數(shù)，則：
A. bc+ad≠0 B. bc－ad≠0 C. bc－ad＝0 D. bc+ad＝0
6. 雙曲線的焦點(diǎn)是F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則到F1直線F2M的距離為：
A. B. C. D.
7．銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足，則有：
A.sin2A-cosB=0 B. sin2A+cosB=0 C. sin2A-sinB=0 D. sin2A+sinB=0
8．已知點(diǎn)A(, 1)，B(0,0)，C(, 0)。設(shè)∠BAC的一平分線AE與BC相交于E，那么有，其中λ等于：
A.2 B. C. －3 D. －
9．已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2－x－6>0}，則M∩N為：
A. {x|－4≤x<－2或3<x≤7} B. {x|－4<x≤－2或3≤x<7}
C. {x|x≤－2或x>3} D. {x|x<－2或x≥3}
10．點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量V=(4，－3)(即點(diǎn)Ｐ的運(yùn)動(dòng)方向與Ｖ相同，且每秒移動(dòng)的距離為｜Ｖ｜個(gè)單位)，設(shè)開始時(shí)點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為：
A.( －2,4) B.( －30,25) C. (10, －5) D. (5, －10)
11、如果a1、a2、…、a8是各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0則：
A.a1a8＞a4a5 B. a1a8＜a4a5 C. a1+a8>a4+a5 D. a1a8=a4a5
12．將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值是：
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二．填空題（每小題4分，共16分）
13. 圓心為(1,2)且與直線5x－12y－7=0相切的圓的方程為___________.
14．設(shè)α是第四象限的角，若，則
15．在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有___個(gè)。
16．下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：
① 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；
② 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
③ 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；
④ 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。其中，真命題的編號(hào)是__________(寫出所有真命題的編號(hào)）。
三．解答題（本題有6小題，計(jì)74分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本題12分）設(shè)函數(shù)，求使的x的取值范圍。
18．(本題12分)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列。又，n=1,2,3,…。(1)證明：{bn}為等比數(shù)列； (2)如果無窮等比數(shù)列{bn}各項(xiàng)和S等于，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.(注：無窮數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)
19、(本題12分) 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6。本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束。設(shè)各局比賽相互間沒有影響，令ξ為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望。(精確到0.0001)
20．(本題12分)如圖，四棱錐Ｐ―ABCＤ中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)。(1)求證：EF⊥平面PAB；(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小。
21．(本題14分) P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上，Ｆ為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)。已知與共線，與共線，且.=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。
22．(本題12分)
已知a≥0，函數(shù)f(x)=(x2－2ax)ex
(1)當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)取得最小值？證明你的結(jié)論；(2)設(shè)f(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。
（吉林、黑龍江、廣西）
一、選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
C
C
A
D
A
C
B
C
二、填空
13 (x-1)2+(y-2)2=4； 14、- ； 15、 384；16、①②③④
三、解答題：
17、本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)和解法，考查分析問題的能力和運(yùn)算能力
解：∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.
當(dāng)x≤ -1時(shí)，原不等式化為：-2≥(舍)；
當(dāng)-1<x≤ 1時(shí)，原不等式化為：2x≥ ∴x≥.
∴此時(shí)，≤ x≤ 1；
當(dāng)x>1時(shí), 原不等式化為：2≥,
此時(shí),x>1.
故原不等式的解集為：{x|x≥ }.
18、本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)以及運(yùn)用這些知識(shí)的能力
⑴證明：設(shè){an}中首項(xiàng)為a1，公差為d.
∵lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列 ∴2lga2=lga1?lga4 ∴a22=a1?a4.
即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0或d=a1.
當(dāng)d=0時(shí), an=a1, bn=, ∴，∴為等比數(shù)列；
當(dāng)d=a1時(shí), an=na1 ,bn=，∴，∴為等比數(shù)列.
綜上可知為等比數(shù)列.
⑵∵無窮等比數(shù)列{bn }各項(xiàng)的和
∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a1 . bn=
∴, ∴a1=3.
∴.
19、本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力
解：ξ的所有取值為3,4,5
P(ξ=3)=；
P(ξ=4)=；
P(ξ=5)=.
ξ
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3466
∴ξ的分布列為：
∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.
20、本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)、及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力
解：方法一：
⑴取PA中點(diǎn)G, 連結(jié)FG, DG.
.
⑵設(shè)AC, BD交于O，連結(jié)FO.
.
設(shè)BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.
設(shè)C到平面AEF的距離為h.
∵VC-AEF=VF-ACE, ∴. 即 ∴. ∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.
即AC與平面AEF所成角為.
21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質(zhì)，兩條直線垂直的條件、兩點(diǎn)間的距離、不等式的性質(zhì)等基本知識(shí)及綜合分析能力
解：∵. 即.
當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí)，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設(shè)MN⊥y軸，則PQ⊥x軸.
∵F(0, 1) ∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2.
∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|=××2=2.
當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2=, x1?x2=.
∴
同理可得：.
∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|==
(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)).
又S四邊形PMQN =，∴此時(shí), S四邊形PMQN.
綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min=.
22、本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力
解：⑴令=0 即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0 ∴x2-2(a-1)x-2a=0
∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0 ∴x1=, x2=
又∵當(dāng)x∈(-∞, )時(shí)，>0；
當(dāng)x∈(, )時(shí)，<0；
當(dāng)x∈(, +∞)時(shí)，>0.
∴x1, x2分別為f (x)的極大值與極小值點(diǎn).
又∵；當(dāng)時(shí).
而f ()=<0.
∴當(dāng)x=時(shí)，f (x)取得最小值.
⑵f (x)在[-1, 1]上單調(diào)，則≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.
而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).
∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).
當(dāng)g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立時(shí)有：
①當(dāng)-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2時(shí), g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍)；
②當(dāng)a-1>1即a ≥ 2時(shí), g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).
當(dāng)g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立時(shí)，有：
①當(dāng)-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1時(shí), g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；
②當(dāng)0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2時(shí), g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；
③當(dāng)1< a-1即a > 2時(shí), g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.
故a∈[,+∞].
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