2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）
數(shù) 學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么
P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半徑
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k
次的概率 其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．極限存在是函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的 （ ）
A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件
3．設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為
（ ）
A． B． C． D．
4．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命
題：①若； ②若；
③若；
④若m、n是異面直線，
其中真命題是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
5．函數(shù)的反函數(shù)是 （ ）
A． B． C． D．
6．若，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
7．在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，
則 （ ）
A． B． C． D．
8．若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m，則m的范
圍是 （ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
9．若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
10．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)，
，若，則 （ ）
A． B． C． D．
11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，
則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 （ ）
A．2+ B． C． D．21
12．一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 .
14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，
A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，
5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 個(gè).（用數(shù)字作答）
16．是正實(shí)數(shù)，設(shè)是奇函數(shù)}，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，的元素不超過2個(gè)，且有使含2個(gè)元素，則的取值范圍是 .
已知三棱錐P―ABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P―AB―C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12π的
球面上，求△ABC的邊長(zhǎng).
如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、
鄰邊互相垂直的十字形，其中
（Ⅰ）將十字形的面積表示為的函數(shù)；
（Ⅱ）為何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
19．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）證明
20．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)
果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)
出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、
（I）的條件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額
如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.
金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)
值時(shí)，最大？最大值是多少？
（解答時(shí)須給出圖示）
21．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，
使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
22．（本小題滿分12分）
函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)
是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）證明：當(dāng)；
（Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，
求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.
2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。
二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。
三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。
13．－160 14． 15．576 16．
三、解答題
17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考
（Ⅰ）證明： 連結(jié)CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則
……………………8分
解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角.
設(shè)AB=a，則 …………8分
（Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.
，的邊長(zhǎng)為.………12分
解法二：延長(zhǎng)PO交球面于D，那么PD是球的直徑.
連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R.
.……12分
18．本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和
三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的能力. 滿分12分.
（Ⅰ）解：設(shè)S為十字形的面積，則
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中………8分 當(dāng)最大.……10分
所以，當(dāng)最大. S的最大值為…………12分
解法二： 因?yàn)?nbsp;所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得 ………………10分
所以，當(dāng)時(shí)，S最大，S的最大值為 …………12分
19．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力，滿分12分。
（Ⅰ）證明：當(dāng) 因?yàn)?i>a1=1，
所以 ………………2分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。
根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故對(duì)任意………………（12分）
20．（本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建
立與求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查通過建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題的能力，滿分12
分.
（Ⅰ）解：…………2分
（Ⅱ）解：隨機(jī)變量、的分別列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4
…………6分
作出可行域（如圖）：
作直線
將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上
的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，此時(shí) …………10分
取最大值. 解方程組
得即時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分
21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)
用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.滿分14分.
由P在橢圓上，得
由，所以 ………………………3分
證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記
則
由
證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時(shí)，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
在△QF1F2中，，所以有
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是…………………………7分
解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時(shí)，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則
因此 ①
由得 ②
將①代入②，可得
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
由③得，由④得 所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分
當(dāng)時(shí)，，
由，
，
，得
解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
由④得 上式代入③得
于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分
當(dāng)時(shí)，記，
由知，所以…………14分
22．本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）證明：令
因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；
當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的
最小值為0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對(duì)任意成立的充要條件是
另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是…………………………10分
綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對(duì)任意成立的充要條件是
………………………………………………………………8分
令，于是對(duì)任意成立的充要條件是
由
當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分
綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
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